Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है-
(i) \(\frac{36}{100}\)
(ii) \(\frac{1}{11}\)
(iii) 4\(\frac{1}{8}\)
(iv) \(\frac{3}{13}\)
(v) \(\frac{2}{11}\)
(vi) \(\frac{329}{400}\)
उत्तर:
(i) \(\frac{36}{100}\) = 0.36
अतः \(\frac{36}{100}\) का दशमलव रूप 0.36 है तथा बड़ एक सांत दशमलब है।
अत: \(\frac{1}{11}\) का दशमलव रूप 0.0908… = 0.\(\bar { 09 }\) है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।
(iii) 4\(\frac{1}{8}\)
अत: 4\(\frac{1}{8}\) का दशमलव रूप 4.125 है तथा यह एक सांत दशमलव है।
(iv) \(\frac{3}{13}\)
अग \(\frac{3}{13}\) का दशमलव रूप 0.\(\overline { 230769 } \) है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।
(v) \(\frac{2}{11}\)
अतः \(\frac{2}{11}\) का दशमलव रूप 0.\(\overline { 18 }\) है तथा यह एक अनवसानी आवर्ती है।
(vi) \(\frac{329}{400}\)
अतः \(\frac{329}{400}\) का दशमलव रूप 0.8225 है तथा यह एक सात दशमलव है।
प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac{1}{7}\) = 0.\(\overline { 142857 }\) है। वास्तव में लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{4}{7}\), \(\frac{5}{7}\), \(\frac{6}{7}\) के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?
उत्तर:
मनहार, \(\frac{1}{7}\) = 0.\(\overline { 142857 }\) \(\frac{2}{7}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{4}{7}\), \(\frac{5}{7}\), \(\frac{6}{7}\) के प्रसार सम्वा भाग दिए, विना निम प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं-
प्रश्न 3.
निम्नलिखित को \(\frac{1}{7}\) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक है तथा q ≠ 0 है
(i) 0.\(\bar { 6 }\)
(ii) 0.4\(\bar { 7 }\)
(iii) 0.00\(\overline { 001 }\).
हल:
(i) मान x = 0.\(\bar { 6 }\) = 0.666…
यहाँ एक अंक की पुनरावृति है अतः 10 से गुणा करने पर,
10 x = 6.666…
इसलिए 10x = 6 + 0.666… = 6 + x
अतः 9x = 6
अर्थात् x = \(\frac{6}{9}\) = \(\frac{2}{3}\)
(ii) माना x = 0.47 = 0-4777 ……..(1).
समी. (1) को 10 से गुणा करने पर,
10x = 4.7777 ……..(2)
यहाँ एक अंक की पुनरावृति है अतः 10 से गुण करने पर,
100 = 47.777
इसलिए 100x = 43 + 4.777… = 43 + 10x (समी- (2) से)
अतः 90x = 43
अर्थात x = \(\frac{43}{90}\)
(iii) माना x = 0.\(\overline{001}\) = 0.001001001…
यहाँ तीन अंकों की पुनरावृत्ति है अत: 1000 से गुणा करने पर,
1000x = 001.001001…
इसलिए 1000x = 1 + 001001… = 1 + x
अतः 999x = 1
अर्थात् x = \(\frac{1}{999}\)
प्रश्न 4.
0-99999… को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
माना
x = 0.99999
वहाँ एक अंक को पुनरावृत्ति है अत: 10 से गुणा करने पर,
10x = 99999
इसलिए 10 = 9 + 0-999…… 9 + x
अतः 9x = 9
अर्थात् x = \(\frac{9}{9}\) = 1
हाँ, हम अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है।
प्रश्न 5.
\(\frac{1}{17}\) के दशमलव प्रसार में अंकों की पुनरावृति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
हल:
\(\frac{1}{17}\) के दशमलव प्रसार में अंकों की पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या = 17 – 1 = 16
16 अंकों का पुनरावृत्ति खण्ड है।
प्रश्न 6.
\(\frac{p}{q}\) (q ≠ 0) के रूष की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ और पूर्णाक है, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठगुणनखंड नहीं है और जिसका सांतदशमलय निरुपण (प्रसार) है। क्या आपका अनुमान लगा सकते हैं कि को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए?
उत्तर:
\(\frac{p}{q}\) के रूप में परिमेय संख्याओं के अनेक बाहरण, जहाँ p और q पूर्णक है तथा 1 के अतिरिक्त अन्य कोई डायनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है वह है, \(\frac{1}{5}\), \(\frac{7}{4}\), \(\frac{11}{8}\), \(\frac{27}{2}\), \(\frac{33}{5}\) आदि। उपर्युक्त दी गई सभी परिमेय ‘संख्याएँ सांत दशमलव हैं।
जैसे-
हैं, हम अनुमान लगा सकते हैं, यदि संख्या एक सांत दशमलब है तोके गुणनखण्डों में 2 की पारा या 5 की पात या दोनों का होना आवश्यक है।
प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएं लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावी हो।
उत्तर:
तीन संख्याएँ जिनके दशमलव प्रसार अन्यसानी अनावर्ती है
0.50500500050000…
0.71711711171111…
0.230230023000…
प्रश्न 8.
परिमेय संख्या \(\frac{5}{7}\) और \(\frac{9}{11}\) के बीच की तीन अलग-अलग अंपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम \(\frac{5}{7}\) तथा \(\frac{9}{11}\) का दशमलव रूप ज्ञात करना पड़ेगा।
अपरिमेय संख्याएँ होगी।
0.7407404074000740000…
0.781078100781000…
0.803800380003800003…
प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय है-
(1) \(\sqrt{23}\)
(ii) \(\sqrt{225}\)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478
(v) 1101001000100001.
उत्तर:
(1) \(\sqrt{23}\) एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(ii) \(\sqrt{225}\) = (ii) \(\sqrt{15×15}\) = 15. यह एक परिमेय संख्या है।
(iii) 0.3796, एक सांत परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478… = 7.\(\overline{478}\), एक असांत आवर्ती परिमेय संख्या है।
(v) 1.1010010001000001… एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यहाँ पुनरावृत्ति नहीं है।