Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3 Text Book Questions and Answers.
BSEB Bihar Board Class 9 Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.3
प्रश्न 1.
आकृति में, ∆ABC की एक माध्यिका AD पर स्थित E कोई विन्दु है। दर्शाइए कि
ar (∆ABE) = ar (∆ACE) है।
उत्तर:
यहाँ AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है। –
⇒ ar (∆ABD) = ar (∆ACD) ……. (1)
इसी प्रकार ED त्रिभुन EBC की माध्यिका है।
⇒ ar (∆BED) = ar (∆CED) ……. (2)
समी- (1) में से समी. (2) को घटाने पर,
ar (∆ABD) = ar (∆BED) = ar (∆ACD) – (∆CED)
ar (∆ABE) = ar (∆ACE).
प्रश्न 2.
∆ABC में, E माध्यिका AD का मध्य बिन्दु है। दर्शाइए कि ar (∆BED) = \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC) है।
उत्तर:
यहाँ AD त्रिभुव ABC की माध्यिका है।
⇒ ar (∆ABD) = ar (∆ACD)
= \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABC) ………. (1)
अब BE त्रिभुज ABD को माध्यिका है।
⇒ ar (∆BED) = ar (∆BAE)
= \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABD)
⇒ ar (∆BED) = \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABD)
समी. (1) से मान रखने पर,
ar (∆BED) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) ar (∆ABC)
ar (∆BED) = \(\frac{1}{4}\) ar (∆ABC).
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि समानर चतुर्भुज के दोनों विकर्ण असे बराबर क्षेत्रफलों वाले चार त्रिभुजों में बांटते हैं।
उत्तर:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, अत: इसके विकर्ष AC और BD एक दूसरे को बिन्दु O पर इस प्रकार कारते हैं कि
OA = OC तथा OB = OD
एक लम्ब BL B से AC पर खींचने पर,
ar (∆AOB) = \(\frac{1}{2}\) × OA × BL …….. (1)
ar (∆BOC) = \(\frac{1}{2}\) × OC × BL
⇒ ar (∆BOC) = \(\frac{1}{2}\) × OA × BL ………. (2)
(∵ OA = OC)
अत: समी. (1) व (2) से,
ar (∆AOB) = ar (∆BOC)
इसी प्रकार, ar (∆AOB) = ar (∆AOD)
तथा ar (∆AOD) = ar (∆COD)
अतः ar (∆AOB) = ar (∆BOC) = ar (∆COD)
= ar (∆DOA)
प्रश्न 4.
आकृति में, ABC तथा ABD एक ही आधार AB पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखण्ड CD रेखाखण्ड AB बिन्दु O पर समद्वि भाजित होता है, तो दर्शाइए कि ar (ABC) = ar (ABD) है।
उत्तर:
∆ACD में
AO माध्यिका है।
ar (∆AOD) = ar (∆AOC) ………. (1)
अब, ∆CBD में BO माध्यिका है।। –
ar (∆BOD) = ar (∆BOC) ……. (2)
समो. (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (∆AOD) + ar (∆BOD) = ar (∆AOC)+ ar (∆BOC)
ar (∆ABD) = ar (∆ABC)
प्रश्न 5.
D, E और Fक्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। दर्शाइए कि-
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) ar (DEF) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)
(iii) ar (BDEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
उत्तर:
(i) ∆ABC में,
∴ E नपा F क्रमशः भुजा AC चा AB के मध्य बिन्दु हैं।
⇒ EF || CB
∴ E था D. क्रमश: भुजा AC तथा BC के मध्य बिन्दु हैं।
⇒ ED || FB
अत: BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) इसी तरह, FDCE और AFDE समान्तर चतुर्भुज है।
∴ ar (FED) = ar (DEF) …….. (1)
(∵ FD, चतुर्भुज FEDH का विकर्ण है।)
ar (CDE) = ar (DEF) ………. (2)
(∵ DE, चतुर्भुज FECD का विकर्ण है।)
ar (AFE) = ar (DEF) ………. (3)
(∵ FE, चतुर्भुज AEDF का विकर्ण है।)
⇒ ar (FBD) = ar (DEF) = ar (CDE) = ar (AFE)
∴ ar(FBD) + ar (DEF) + ar (CDE)+ar (AFE) = ar (ABC)
∴ 4ar (DEF) = ar (ABC)
⇒ ar (DEF) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC)
(iii) ∴ ar (DEF) = \(\frac{1}{4}\) ar (ABC) [∵ भाग (ii) से]
2ar (DEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
ar (DEF)+ ar (DEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
ar (DEF) + ar (BFD) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC)
ar (BDEF) = \(\frac{1}{2}\) ar (ABC).
प्रश्न 6.
पाठ्य पुस्तक में दी गई आकृति में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु ० पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है। यदि AB = CD है, तो दहिए कि-
(i) ar (DOC) = ar(AOB)
(ii) ar (DCB) = ar (ACB)
(iii) DA ||CB या ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
उत्तर:
रचना करें DN LAC और BM ⊥ AC
(i) ∆DON और ABOM में,
∠DNO = ∠BMO = 90° (रचना में)
OD = OB (दिया है।)
∠DON = ∠BOM (कधिर सम्मुख कोण)
∴ AAS सर्वांगसमता से,
∠DON ≅ ∠BOM
⇒ DN = BM
तथा ar (∆DON) = ar (∆BOM) ……. (1)
अब ∆DCN और ∆BAM में,
∠DNC = ∠BMA = 90°
DN = RM (सिद्ध किया है।)
DC = AB (दिया है।)
∴ RHS सर्वांगसमता से,
∆DCN ≅ ∆BAM
⇒ ar (∆DCN) = (∆BAM) ………. (2)
समी- (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (∆DON) + ar (∆DCN)
= ar (∆BOM) + ar (∆BAM)
अत: ar (∆DOC) = ar (∆AOB).
(ii) ar (∆DOC) = ar (∆AOB) [भाग (i) मे]
दोनों तरफ ar (∆COB) जोड़ने पर,
ar (∆DOC) + ar (∆COB)
= ar (∆AOB) + ar (∆COB)
⇒ ar (DCB) = ar (ACB).
(iii) ∆DCB और ∆ACB के क्षेत्रफल और आधार समान हैं। अत: उनके त्रिभुज समान्तर रेखाओं के मध्य स्पिन होंगे।
अत: DA || CB अर्थात्, ABCD एकसमान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 7.
विन्दु D और E क्रमश: ∆ABC की भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित है कि
ar (∆DBC) = ar (∆EBC) है। दर्शावए कि DE || BC है।
उत्तर:
यहाँ ar (∆DBC) = ar (∆EBC)
दोनों त्रिभुजों के आधार समान है।
∴ ∆DBC तथा ∆EBC समान समान्तर रेखाओं के बीच बने हैं।
DE || BC.
प्रश्न 8.
XY त्रिभुज ABC की भुजा BC के समानतर एक रेखा है। यदि BE || AC और CF || AR रेखा XY से क्रमश: E और F पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि-
ar (∆ABE) = ar (∆ACF).
उत्तर:
यहाँ XY || BC ⇒ EY || BC
BE || AC ⇒ BE || CY
⇒ BCYE एक समानार चतुर्भुव है।
तथा CE || BS ⇒ CF || Bx
XY || BC ⇒ XF || BC
⇒ BCFX एक समान्तर चतुर्भुज है।
यहाँ चतुर्भुज समान आधार BC तथा समान्तर रेखा BC तथा EF के मध्य है।
⇒ ar (BCEX) = ar (BCYE) …….. (1)
यहाँ ∆ABE तथा चतुर्भुज BCYE आधार BE तथा समान्तर रेखा AC के बीच में है।
अतः ar (∆ABE) = \(\frac{1}{2}\) ar (BCYE) ……. (2)
इसी तरह ar (ACF) = \(\frac{1}{2}\) ar (BCFX) ……… (3)
समी. (1), (2) व (3) से,
ar (∆ABE) = ar (∆ACF).
प्रश्न 9.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की एक भुजा AB को एक बिन्दु तक बढ़ाया गया है। A से होकर CP के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q ए पर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज PBQR को पूरा किया गया है (पाठ्य पुस्तक में आकृति देखिए)। दर्शाइए कि
ar (ABCD) = ar (PBQR) है।
उत्तर:
AC और PQ को मिलाने पर,
∆ACQ तथा ∆AQP दाना आधार AQ पर तथा समान्तर रेसा AQ और CP के मध्य में बने हैं।
∴ ar (∆ACQ)
= ar (∆AQP)
⇒ ar (∆ACQ) – ar (∆ABQ)
= ar (∆AQP) – ar (∆ABQ)
⇒ ar (∆ABC) = ar (∆QBP) ……… (1)
यहाँ AC तमा PQ क्रमश: चतुर्भुज ABCD तथा BQRP के विकर्ण है।
⇒ 2 ar (∆ABC) = ar (ABCD] ………. (2)
तथा 2 ar (BPQ) = ar (BPRQ) ………. (3)
समी. (2) व (3) से,
ar (ABCD) = ar (PBQR)
प्रश्न 10.
एक समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है. के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ar (∆AOD) = ar (∆BOC) है।
उत्तर:
∆ABD तया ∆ABC आधार AB पर तघा समान्तर रेखा AB और DC के मध्य बने हैं।
= ar (∆ABD) = ar (∆ABC)
⇒ ar (∆ABD) = ar (∆AOB)
= ar (∆ABC) = ar (∆AOB)
अतः ar (∆AOD) = ar (∆BOC)
प्रश्न 11.
आकृति में, ABCDE एक पचभुज है। B से होकर AC के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई DC को F पर मिलती है। दर्शाइए कि-
(i) ar (∆ACB) = ar (∆ACF)
(ii) ar (AEDF) = ar (ABCDE).
उत्तर:
(i) ∆ACB तथा ∆ACF समान आधार AC तषा समान्तर रेखा AC और BF के योच में बने हैं।
अत: ar (∆ACR) = ar (∆ACF).
(ii) ar (∆ACB) = ar (∆ACF)
दोनों तरफ ar (CDEA) जोड़ने पर,
ar (∆ACB) + ar (CDEA)
= ar (∆ACF) + ar (CDEA)
ar (ABCDE) = ar (AEDF).
प्रश्न 12.
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुभुजाकार भूखण्ड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखण्ड के एक कोने से उसका कछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखण्ड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखण्ड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
उत्तर:
माना ABCD एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड है। (देखिए आकृति)
AC को मिलाया।
एक रेखा DE || AC खांची तपा AB को आगे बढ़ाएँ और CE से मिलाएँ।
अतः इतवारी अपने चतुर्भुजाकार भूखण्ड से ACD ग्राम पंचायत को देगा तथा बदले में भूखण्ड ACE लेगा। इस प्रकार उसका भूखण्ड EBC झे जाएगा। जोकि त्रिभुजाकार है तथा क्षेत्रफल में मूल भूखण्ड के बराबर है।
यहाँ ∆ACE तथा ∆ACD समान आधार AC तथा समान्तर रेखा AC और ED के बीच बने है।
∴ (∆ACE) = ar (∆ACD) ……… (1)
अब, ar (ABCD) = ar (ABC) + ar (ACD)
= ar (ABC) + ar (ACE)
[समी. (1) से]
= ar (EBC)
∴ ar (ABCD) = ar (EBC).
प्रश्न 13.
ABCD एक समलम्य है, जिसमें AB || DC है। AC के समान्तर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ADX) = ar (ACY) है।
उत्तर:
∆AXD तथा ∆AXC समान आधार AX तथा समान्तर रेखा AX और CD के मध्य अने हैं।
∴ ar (∆ADX) = ar (∆ACX) ………. (1)
दिया है, AC || XY
∆ACY तथा ∆ACX सनान आधार AC तथा समान्तर रेखा AC तथा XY के मध्य बने हैं।
∴ ar (∆ACY) = ar (∆ACX) …….. (2)
समी. (1) व (2) से,
ar (∆ADX) = ar (∆ACY).
प्रश्न 14.
आकृति में AP || BQ || CR है। सिद्ध कीजिए कि ar (AQC) = ar (PBR) है।
उत्तर:
दिया है, AP || BQ
∆ABQ नया ∆PBQ समान आधार BQ तथा समान्तर रेखा AP और BQ के मध्य में हैं।
∴ ar (∆ABQ) = ar (∆PBQ) ……… (1)
दिया है, BQ || CR
∆BQC तथा ∆BQR समान आधार BQ तथा समान्तर रेखा BQ और CR के मध्य में है।
∴ ar (∆BQC) = ar (∆BQR) ……… (2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर,
ar (∆ABQ) + ar (∆BQC)
= ar (∆PBQ) + ar (∆BQR)
ar (∆AQC) = ar (∆PBR).
प्रश्न 15.
चतुर्भुज ABCD के विकणं AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते है कि ar (∆AOD) = ar (∆BOC) है। सिद्ध कीजिए कि ARCD एक समलम्य है।
उत्तर:
दिया है, ar (∆AOD) = ar (∆BOC)
⇒ ar (∆AOD) + ar (∆DOC)
= ar (∆BOC) + ar (∆DOC)
[दोनों तरफ ar (∆DOC) जोड़ने पर]
⇒ ar (ADC) = ar (∆BDC)
अतः ∆ADC और ∆BDC समान क्षेत्रफल के है तथा समान आधार पर हैं।
∴ AB || DC
अत: ABCD एक समलम्ब है।
प्रश्न 16.
आकृति में ar (∆DRC) = ar (∆DPC) है और ar (∆BDP) = ar (∆ARC) है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलम्ब हैं।
उत्तर:
ar (∆DRC) = ar (∆DPC) ……… (1)
बोनों आधार DC पर बने हैं अर्थात् DC || RP
⇒ DCPR एक समलम्ब है।
∴ ar (∆BDP) = ar (∆ARC) …….. (2)
समी. (2) में से समी. (1) को पटाने पर,
ar (∆RDP) = ar (∆DPC) = ar (∆ARC) = ar (∆DRC)
⇒ ar (∆BDC) = ar (∆ADC)
दोनों आधार CD पर बने हैं अर्थात् AB || CD
⇒ ABCD एक समलम्ब है।