Class 10

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि कोई घटना घटित नहीं होती है, तो इसकी प्रायिकता है
(i) 1
(ii) \(\frac{3}{4}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) 0
हल
(iv) 0

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन-सी, किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है?
(i) \(\frac{1}{3}\)
(ii) 0.1
(iii) 0.3
(iv) \(\frac{17}{16}\)
हल
(iv) \(\frac{17}{16}\)

प्रश्न 3.
एक घटना बहुत असमान है, इसकी प्रायिकता निकटतम है
(i) 0.0001
(ii) 0.001
(iii) 0.01
(iv) 0.1
हल
(iv) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि एक घटना की प्रायिकता P है, इसके पूरक घटना की प्रायिकता होगी
(i) P – 1
(ii) P
(iii) 1 – P
(iv) 1 – \(\frac{1}{P}\)
हल
(iii) 1 – P

प्रश्न 5.
किसी निश्चित घटना की प्रायिकता की प्रतिशतता कभी भी नहीं हो सकती
(i) 100 से कम
(ii) शून्य से कम
(iii) 1 से अधिक
(iv) कोई भी परन्तु एक पूर्ण संख्या
हल
(ii) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A), घटना A की प्रायिकता व्यक्त करती है. तब
(i) P(A) < 0
(ii) P(A) > 1
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(iv) -1 ≤ P(A) ≤ 1
हल
(iii) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता चुना गया है। इसके लाल फेस कार्ड हाने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{3}{26}\)
(ii) \(\frac{3}{13}\)
(iii) \(\frac{2}{13}\)
(iv) \(\frac{1}{2}\)
हल
(i) \(\frac{3}{26}\)

प्रश्न 8.
यदृच्छया चुने गये एक नोन-लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{7}\)
(ii) \(\frac{2}{7}\)
(iii) \(\frac{3}{7}\)
(iv) \(\frac{5}{7}\)
हल
(i) \(\frac{1}{7}\)

प्रश्न 9.
जब एक पासे को उछाला जाता है, तीन से छोटी विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{6}\)
(ii) \(\frac{1}{3}\)
(iii) \(\frac{1}{2}\)
(iv) 0
हल
(i) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 10.
ताश की 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है उस पत्ते के पान का इक्का न होने की प्रायिकता E है। E के संभव परिणाम हैं।
(i) 4
(ii) 13
(iii) 48
(iv) 51
हल
(iv) 51

प्रश्न 11.
400 अंडों के एक संग्रह में से एक खराब अंडा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है। इस संग्रह में खराब अंडों की संख्या है
(i) 7
(ii) 14
(iii) 21
(iv) 28
हल
(ii) 14

प्रश्न 12.
कोई लड़की एक कलन परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लॉटरी में प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकट बेचे गए हैं, तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं?
(i) 40
(ii) 240
(iii) 480
(iv) 750
हल
(iii) 480

प्रश्न 13.
किसी थैले में कुछ टिकट हैं, जिन पर 1 से 40 तक संख्याएँ अंकित हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से एक टिकट निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता कि निकाले गए इस टिकट की संख्या 5 का एक गुणज हो, निम्नलिखित है
(i) \(\frac{1}{5}\)
(ii) \(\frac{3}{5}\)
(iii) \(\frac{4}{5}\)
(iv) \(\frac{1}{3}\)
हल
(i) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 14.
किसी व्यक्ति से 1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनने को कहा जाता है। इस संख्या के अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है
(i) \(\frac{1}{5}\)
(ii) \(\frac{6}{25}\)
(iii) \(\frac{1}{4}\)
(iv) \(\frac{13}{50}\)
हल
(iii) \(\frac{1}{4}\)

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 4 लाल तथा 6 काली गेंदें हैं। थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली गई। एक काली गेंद निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
जब थैले से यदृच्छया एक गेंद बाहर निकाली जाती है तो निकाली गई गेंद के लाल होने की कुल सम्भावनाएँ 4 हैं तथा गेंद काली होने की सम्भव घटनाएँ 6 हो सकती हैं।
कुल सम्भावित परिणाम = 6 + 4 = 10
और गेंद काली होने के सम्भव परिणाम = 6
अत: निकाली गई गेंद काले रंग की होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
पासे पर सम संख्या (2, 4, 6) = 3
कुल संख्या = 6
सम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में एक से लेकर दस अंक तक के दस टिकट हैं, थैले से यदृच्छया एक टिकट निकाला जाता है। निकाले गए टिकट पर विषम अंक होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
थैले में 1 से लेकर 10 अंक तक के टिकट हैं।
n(S) = 10
विषम अंक 1, 3, 5, 7, 9 होंगे।
n(E) = 5
विषम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 4.
अच्छे प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। उस पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
गड्डी में कुल 52 पत्ते हैं
अत: गड्डी में से 1 पत्ता निकालने पर कुल सम्भव परिणाम = 52
52 पत्तों में इक्के केवल 4 हैं।
इक्का निकालने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.7 है तो उस घटना के न घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
घटना के न घटित होने की प्रायिकता = 1 – घटना के घटित होने की प्रायिकता
= 1 – 0.7
= 0.3

प्रश्न 6.
एक असम्भव घटना की प्रायिकता कितनी होती है?
उत्तर
असम्भव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।

प्रश्न 7.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता कितनी होगी?
उत्तर
निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होगी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गयी गेंदे (i) काली या सफेद हो, (ii) लाल हो।
हल
थैले में 6 काली, 7 लाल तथा 2 सफेद गेंदे हैं।
(i) कुल गेंद = 6 + 7 + 2 = 15
काली गेंद = 6
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\)
सफेद गेंद = 2
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{2}{15}\)
अतः काली या सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{15}+\frac{2}{15}=\frac{8}{15}\)

(ii) थैले में लाल गेंद = 7
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{7}{15}\)

प्रश्न 2.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्ति की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) दो शीर्ष,
(ii) कम-से-कम एक शीर्ष।
हल
यदि शीर्ष को H तथा पुच्छ को T से प्रदर्शित किया जाए तो दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर,
(i) प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}
n(S) = 4
दोनों शीर्ष एक बार (H, H)
दो शीर्ष आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)

(ii) कम-से-कम एक शीर्ष n(E) = 3 {HT, TH, TT}
कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 3.
एक कक्षा में 18 लड़कियाँ तथा 16 लड़के हैं। कक्षा अध्यापिका को एक विद्यार्थी कक्षा प्रतिनिधि के रूप में चुनना है। वह प्रत्येक विद्यार्थी का नाम एक अलग कार्ड पर लिखती है, जबकि कार्ड एक जैसे हैं। फिर वह इन कार्यों को एक थैले में डालकर अच्छी तरह हिलाती है और तब थैले में से एक कार्ड निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि कार्ड पर लिखा हुआ नाम
(i) लड़की का है?
(ii) लड़के का है?
हल
(i) कार्ड एक जैसे हैं तथा कार्ड निकालने से पहले उन्हें अच्छी तरह हिलाया गया है, अत: सभी परिणाम समप्रायिक हैं।
लड़कियों का नाम लिखे कार्यों की संख्या = 18
तथा लड़कों का नाम लिखे कार्डों की संख्या = 16
एक कार्ड निकालने पर कुल परिणामों की संख्या = 18 + 16 = 34
जबकि लड़की के नाम का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
लड़की का कार्ड निकलने की प्रायिकता = \(\frac{18}{34}=\frac{9}{17}\)

(ii) अब लड़के का कार्ड निकलने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 16
लड़के का कार्ड निकलने की प्रायिकता = \(\frac{16}{34}=\frac{8}{17}\)

प्रश्न 4.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित के प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
(i) कम-से-कम एक पट
(ii) अधिक-से-अधिक दो चित।
हल
दो सिक्कों की उछाल में प्रतिदर्श समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT}
(i) कम-से-कम एक पट आने की घटना
E₁ = {TH, HT, TT}
इसकी प्रायिकता P(E₁) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{4}\)

(ii) अधिक-से-अधिक दो चित आने की घटना
E₂ = {HH, HT, TH, TT} = S
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E₂) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{4}=1\)

प्रश्न 5.
एक थैले में 2 लाल, 3 सफेद और 4 नीले कंचे हैं। यदि इस थैले में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता होगी कि यह कंचा-
(i) सफेद है?
(ii) लाल है?
हल
थैले में कुल कंचे = 2 + 3 + 4 = 9 = n(S)
(i) सफेद कंचे = 3 = n(E₁)
सफेद कंचा निकालने की प्रायिकता = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

(ii) थैले में लाल कंचे = 2 = n(E₂)
लाल कंचा निकालने की प्रायिकता = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{2}{9}\)

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 20 गेंदें हैं, जिनमें 1, 2, 3, ….., 20 अंक लिखे गए हैं। बॉक्स में से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद पर लिखी संख्या
(i) 3 से विभाज्य है
(ii) 3 से विभाज्य नहीं है।
हल
(i) गेंदों की कुल संख्या = 20
यदि एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3,…., 20) = 20
इन परिणामों में से 3 से विभाज्य संख्याएँ = (3, 6, 9, 12, 15, 18) = 6
अत: गेंद पर लिखी संख्या के 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)

(ii) प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य है + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒ \(\frac{3}{10}\) + प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1
⇒ प्रायिकता कि गेंद पर लिखी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है = 1 – \(\frac{3}{10}\) = \(\frac{7}{10}\)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक पेटी में 30 डिस्क हैं जिन पर 1 से 30 तक की संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
विश्लेषण : चित्र में 30 डिस्क दिखाई गई हैं प्रत्येक डिस्क पर 1 से 30 तक की कोई एक संख्या अंकित है। कोई संख्या न तो विलुप्त है और न दोहराई गई (दुबारा लिखी गई) है।
इन डिस्क्स को एक पेटी में रखा गया है।
पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है।
डिस्क पर अंकित संख्या के लिए,

कुल सम्भावित परिणाम = 30
(i) यदृच्छया चुनी डिस्क पर अंकित संख्या दो अंकों की हो; इस घटना के अनुकूल परिणाम = 21
दो अंकों वाली संख्याएँ = 21
अत: निकाली डिस्क पर दो अंकों वाली संख्या अंकित होने की प्रायिकता

(ii) यदृच्छया चुनी डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित हो। घटना के अनुकूल परिणाम = 1, 4, 9, 16, 25, कुल 5 परिणाम हैं।
अत: निकाली गई डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता

प्रश्न 2.
कार्ड, जिन पर 5 से 50 तक की संख्याएँ अंकित हैं, एक बॉक्स में रखकर अच्छी तरह से मिलाए जाते हैं। तब बॉक्स में से एक कार्ड यदच्छया निकाला गया। निकाले गए कार्ड पर निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) 10 से छोटी एक अभाज्य संख्या।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या।
हल
बॉक्स में रखे कार्ड्स पर अंकित कुल संख्याएँ प्रतिदर्श

∴ n(S) = 46
प्रतिदर्श समष्टि S में,
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ = 5 व 7 और ⇒ n(A) = 2
पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 9, 16, 25, 36, 49 ⇒ n(E) = 5
(i) निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी अभाज्य संख्या अंकित होने की घटना A हो तो n(A) = 2
अत: बॉक्स से यदृच्छया निकाले गए कार्ड पर 10 से छोटी संख्या अंकित होने की प्रायिकता
\(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{46}=\frac{1}{23}\)

(ii) जब बॉक्स में से यदृच्छया एक कार्ड निकाला जाए और निकाले गए कार्ड पर अंकित संख्या के पूर्ण वर्ग होने की घटना E हो तो n(E) = 5
अतः निकाले गए कार्ड पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता,
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{46}\)

प्रश्न 3.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, ₹ 2 के 30 सिक्के, ₹ 5 के 20 सिक्के और ₹ 10 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) ₹ 2 का होगा?
(ii) ₹ 10 का नहीं होगा?
हल
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 30
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 10 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब
(i) यदि गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का होने की घटना H हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 30
तथा कुल सम्भव परिणाम = 30 + 20 + 10 = 60
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 2 का हो, इसकी प्रायिकता
P(H) = \(\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\)

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने के अनुकूल परिणाम 10 हैं।
गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)
अत: गिरा हुआ सिक्का ₹ 10 का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.2

प्रश्न 1.
दो ग्राहक श्याम और एकता एक विशेष दुकान पर एक ही सप्ताह में जा रहे हैं (मंगलवार से शनिवार तक)। प्रत्येक द्वारा दुकान पर किसी दिन या किसी अन्य दिन जाने के परिणाम समप्रायिक हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों उस दुकान पर
(i) एक ही दिन जाएँगे?
(ii) क्रमागत दिनों में जाएँगे?
(iii) भिन्न-भिन्न दिनों में जाएँगे?
हल
मंगलवार से शनिवार तक दिनों की संख्या = 5
कुल सम्भव परिणामों की संख्या = 5 × 5 = 25
(i) दोनों ग्राहकों के एक ही दिन जाने के अनुकूल परिणाम = (T, T) (W, W) (Th, Th) (F, F) (S, S) = 5
अतः दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता = \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने के अनुकूल परिणाम

अत: दोनों ग्राहकों के दुकान पर क्रमागत दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{8}{25}\)

(iii) दोनों के दुकान पर एक ही दिन जाने की प्रायिकता P = \(\frac{1}{5}\)
दोनों के दुकान पर एक ही दिन न जाने की प्रायिकता P’ = 1 – P
= 1 – \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{4}{5}\)
अत: दोनों के दुकान पर भिन्न-भिन्न दिनों में जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 2.
एक पासे के फलकों पर संख्याएँ 1, 2, 2, 3, 3 और 6 लिखी हुई हैं। इसे दो बार फेंका जाता है तथा दोनों बार प्राप्त हुई संख्याओं के योग लिख लिए जाते हैं। दोनों बार फेंकने के बाद, प्राप्त योग के कुछ सम्भावित मान निम्नलिखित सारणी में दिए हैं, इस सारणी को पूरा कीजिए।

इसकी क्या प्रायिकता है कि कुल योग
(i) एक सम संख्या होगा?
(ii) 6 है?
(iii) कम-से-कम 6 है?
हल
सारणी की पूर्ति पहली बार फेंकने के मान

(i) कुल योग सम संख्या होने के अनुकूल परिणाम = घेरे वाले अंक = 18
कुल सम्भव परिणाम = 6 × 6 = 36
अतः योग सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)

(ii) कुल योग 6 हो, इसके अनुकूल परिणाम = 4
और कुल सम्भव परिणाम = 36
अतः योग 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

(iii) कुल योग कम-से-कम 6 होने के अनुकूल परिणाम = 15
कुल सम्भव परिणाम = 36
अत: योग कम-से-कम 6 होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में 5 लाल गेंद और कुछ नीली गेंदें हैं यदि इस थैले में से नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दुगुनी है तो थैले में नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना थैले में नीली गेंदों की संख्या x है।
कुल गेंदों की संख्या = 5 लाल + x नीली = (5 + x)
थैले में से यदृच्छया 1 गेंद निकालने पर,
कुल सम्भव परिणाम = (5 + x)
लाल गेंद निकालने के अनुकूल परिणाम = 5
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{5}{5+x}\)
तब, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता P(B) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{5}{5+x}\)
= \(\frac{x}{5+x}\)
प्रश्नानुसार, नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 2 × लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x}{5+x}=2 \times \frac{5}{5+x}\)
⇒ \(\frac{x}{5+x}=\frac{10}{5+x}\)
⇒ x = 10
अतः थैले में नीली गेंदों की संख्या = 10

प्रश्न 4.
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंद काली हैं। यदि इसमें से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंद और डाल दी जाएँ, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगुनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल
पेटी में गेंदों की कुल संख्या = 12
काली गेंदों की संख्या = x
यदि पेटी में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है, तो गेंद निकाले जाने के कुल सम्भव परिणाम = 12
निकाली गई गेंद काली होने के अनुकूल परिणाम = x
अतः निकाली गई गेंद काली होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{12}\)
यदि पेटी में 6 काली गेंद और मिला दी जाएँ तो काली गेंद निकलने के अनुकूल परिणाम = x + 6
तथा कुल सम्भव परिणाम = 12 + 6 = 18
अतः अब काली गेंद निकलने की प्रायिकता = \(\frac{x+6}{18}\)
प्रश्नानुसार, वर्तमान प्रायिकता = 2 × पहले की प्रायिकता
⇒ \(\frac{x+6}{18}=2 \times \frac{x}{12}\)
⇒ \(\frac{x+6}{18}=\frac{x}{6}\)
⇒ 6(x + 6) = 18x
⇒ 18x = 6x + 36
⇒ 18x – 6x = 36
⇒ 12x = 36
⇒ x = 3
अत: x का मान = 3

प्रश्न 5.
एक जार में 24 कंचे हैं जिनमें कुछ हरे हैं और शेष नीले हैं। यदि इस जार में से यदृच्छया एक कंचा निकाला जाता है तो इस कंचे के हरा होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है। जार में नीले कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना जार में हरे कंचों की संख्या x है।
कंचों की कुल संख्या = 24
जब जार में से 1 कंचा यदृच्छया निकाला जाता है, तो कंचे के हरे होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{24}\)
परन्तु दिया है कि कंचे के हरे होने की प्रायिकता \(\frac{2}{3}\) है।
\(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3x = 48
⇒ x = 16
जार में हरे कंचों की संख्या = 16
जार में नीले कंचों की संख्या = 24 – 16 = 8
अत: जार में नीले कंचों की संख्या = 8

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Bihar Board Class 10 Maths प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = _________ है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती __________ है। ऐसी घटना __________ कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, _________ है। ऐसी घटना ___________ कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग _________ है।
5. किसी घटना की प्रायिकता ___________ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ________ छोटी या उसके बराबर होती है।

उत्तर

1. घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।
2. उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती शून्य है। ऐसी घटना असम्भव घटना कहलाती है।
3. उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है, 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
4. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
5. किसी घटना की प्रायिकता शून्य से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
4. एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

उत्तर

1. एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। अधिकांश सम्भावना कार चलना प्रारम्भ होने की है, कार चलना प्रारम्भ न होने की सम्भावना कम ही है। अतः यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
2. एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। एक ही परिस्थिति में उसकी सफलता या असफलता की सम्भावना समान नहीं होती। अत: यह प्रयोग समप्रायिक नहीं है।
3. एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। अनुमान के सही होने की सम्भावना भी उतनी ही है जितनी की उसके गलत होने की है। अत: यह प्रयोग समप्रायिक है।
4. एक बच्चे का जन्म होने पर उसके लड़की या लड़का होने की सम्भावनाएँ समान हैं। अतः प्रयोग समप्रायिक है।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
उत्तर
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, एक सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्का सममित होता है और उसकी उछाल (tossing) निष्पक्ष (unbiased) होती है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
उत्तर
चूँकि प्रयोग में किसी घटना के घटित होने या घटित न होने की सम्भावना शून्य भले ही हो परन्तु ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः स्पष्ट है कि विकल्प (B) में दी गई ऋणात्मक संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है तो ‘E-नहीं की प्रायिकता क्या है?
हल
दिया है, P(E) = 0.05
‘E-नहीं’ की प्रायिकता = P(E’) = 1 – P(E)
= 1 – 0.05
= 0.95
अतः घटना ‘E-नहीं’ की प्रायिकता P(E’) = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नीबू की महक वाली है?
हल
∵ थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ ही हैं। यदि थैले में से यदृच्छया एक गोली निकाली जाती है तो
(i) निकाली गई गोली ‘सन्तरे की महक वाली’ होने की घटना की सम्भावना शून्य है क्योंकि सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।
अतः निकाली गई गोली सन्तरे की महक वाली हो, इसकी प्रायिकता शन्य होगी।

(ii) सभी गोलियों में नीबू की महक है। इसलिए नीबू की महक वाली गोली निकलने की घटना एक निश्चित घटना है।
अत: इसकी प्रायिकता 1 होगी।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल
माना E = 2 विद्यार्थियों का एक ही दिन जन्मदिन न होने की घटना
P(E) = 0.992
P(E) + P(\(\bar{E}\)) = 1
0.992 + P(\(\bar{E}\)) = 1
P(\(\bar{E}\)) = 1 – 0.992 = 0.008
अतः 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?
हल
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 लाल + 5 काली = 8
थैले में से एक गेंद यदृच्छया निकालने पर कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 8
माना E = एक लाल गेंद निकालने की घटना
(i) गेंद लाल होने की घटना के अनुकूल परिणाम n(E) = 3
गेंद लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}\)
अत: गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
(ii) तब गेंद लाल न होने की प्रायिकता P(R’) = 1 – P(R)
= 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{5}{8}\)
अत: गेंद लाल न हो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{8}\)

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल
लाल कंचों की संख्या = 5
सफेद कंचों की संख्या = 8
हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कंचों की कुल संख्या = (5 + 8 + 4) = 17
जब डिब्बे में से एक कंचा यदृच्छया निकाला जाता है तो कुल सम्भावित परिणाम = 17
(i) निकाला गया कंचा लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 5
अत: निकाला गया कंचा लाल होने की प्रायिकता

(ii) निकाला गया कंचा सफेद (W) हो, इसके अनुकूल परिणाम = 8
अत: निकाला गया कंचा सफेद होने की प्रायिकता

(iii) यदि हरा कंचा होने की घटना G हो तो घटना के अनुकूल परिणाम = 4
हरा कंचा न होने की घटना G के अनुकूल परिणाम = 17 – 4 = 13
अतः हरा कंचा न होने की प्रायिकता

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy Bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के, ₹ 1 के पचास सिक्के, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होगा?
(ii) ₹ 5 का नहीं होगा?
हल
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
₹ 1 के सिक्कों की संख्या = 50
₹ 2 के सिक्कों की संख्या = 20
₹ 5 के सिक्कों की संख्या = 10
पिग्गी बैंक को अच्छी तरह हिलाकर उल्टा करने पर 1 सिक्का गिरने की घटना के सभी परिणाम सम-सम्भावी हैं, तब

(i) यदि गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की घटना न हो, तो
घटना H के अनुकूल परिणाम = 100
कुल सम्भव परिणाम = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
अतः गिरा हुआ सिक्का 50 पैसे का होने की प्रायिकता P(H) = \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने के अनुकूल परिणाम = 10
गिरा हुआ सिक्का ₹ 5 का होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
अत: गिरा हआ सिक्का ₹ 5 का न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{18}\) = \(\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल -जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यदृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (आकृति देखिए)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल
दुकानदार की टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 नर + 8 मादा = 13 मछली
कुल सम्भव परिणाम = 13
टंकी में से 1 मछली यदृच्छया निकालने पर, निकाली गई।
मछली नर होने के अनुकूल परिणाम = 5
नर मछली होने की प्रायिकता

अत: निकाली गई मछली नर होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। (आकृति देखिए) यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल
संयोग के खेल में जब तीर को घुमाया जाता है, तो तीर के विश्राम आने पर इंगित कुल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
(i) तीर द्वारा संख्या 8 को इंगित करने के अनुकूल परिणाम = 1
उपर्युक्त घटना की प्रायिकता,

अत: संख्या 8 को इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{8}\)

(ii) तीर द्वारा एक विषम संख्या अंकित करने के परिणाम = (1, 3, 5, 7) = 4
विषम संख्या इंगित होने की प्रायिकता

अत: विषम संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

(iii) 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (3, 4, 5, 6, 7, 8) = 6
2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 2 से बड़ी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्या इंगित करने की घटना के अनुकूल परिणाम = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = 8
9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता

अत: 9 से छोटी संख्या इंगित करने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल
एक पासे को यदृच्छया फेंके जाने पर प्राप्त होने वाले सभी सम्भव
परिणामों की संख्या = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
यहाँ अभाज्य संख्याएँ = (2, 3, 5) = 3
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = (3, 4, 5) = 3
विषम संख्याएँ = (1, 3, 5) = 3
अतः प्रत्येक घटना के अनुकूल परिणाम = 3
प्रत्येक घटना की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: पासे पर
(i) अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) 2 और 6 के बीच की कोई संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(ii) एक विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल
ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। गड्डी को अच्छी तरह फेंटकर गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर पत्ता क्या है, इसके कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 52
(i) लाल रंग का बादशाह होने की घटना (A)
गड्डी में कुल 4 बादशाह होते हैं जिनमें पान तथा ईंट का बादशाह लाल होता है।
लाल रंग का बादशाह प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
घटना A की प्रायिकता

अत: लाल बादशाह होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{26}\)

(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (B)
प्रत्येक समूह में 3 फेस कार्ड्स (बादशाह, बेगम व गुलाम) होते हैं।
गड्डी में कुल फेस कार्ड = 3 × 4 = 12
घटना B के अनुकूल परिणाम = 12
घटना B की प्रायिकता

अत: एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{13}\)

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की घटना (C)
कुल फेस कार्ड्स = 12
लाल रंग का तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
घटना C के अनुकूल परिणाम = 6
घटना C की प्रायिकता

अतः लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता = \(\frac{3}{26}\)

(iv) पान का गुलाम होने की घटना (D)
गड्डी में पान का एक ही गुलाम होता है। अत: घटना D के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
घटना D की प्रायिकता

अतः निकाले गए पत्ते के पान का गुलाम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)

(v) हुकुम का पत्ता होने की घटना (E)
गड्डी में हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
घटना E के अनुकूल परिणाम = 13
घटना E की प्रायिकता

अत: निकाला गया पत्ता हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता P(E) = \(\frac{1}{4}\)

(vi) ईंट की बेगम होने की घटना (F)
गड्डी में ईंट की केवल एक ही बेगम होती है।
घटनां F के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
तब, घटना F की प्रायिकता

अतः निकाला गया पत्ता ईंट की बेगम होने की प्रायिकता P(F) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बादशाह और इक्का, को पलटकर के अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है।
(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल
ताश के 5 पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का को पलटकर के फेंटा गया और फिर इसमें से यदृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
इसके कुल सम्भव परिणाम = 5
(i) यदि निकाला गया पत्ता बेगम हो तो इस घटना के अनुकूल परिणाम = 1
अतः निकाला गया पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि बेगम निकल आती है तो उसे अलग रख दिया जाता है और शेष पत्तों में से फिर एक पत्ता निकाला जाता है।
तब, कुल सम्भव परिणाम = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) दूसरा पत्ता इक्का होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\)
(b) दूसरा पत्ता बेगम होने के अनुकूल परिणाम = शून्य क्योंकि इन पत्तों में बेगम है ही नहीं।
अतः दूसरा पत्ता बेगम होने की प्रायिकता = \(\frac{0}{4}\) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल
अच्छे पेनों की संख्या = 132
तथा खराब पेनों का संख्या = 12
मिश्रण में पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
मिश्रण में से एक पेन यदृच्छया निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 144
अच्छा पेन निकलने के अनुकूल परिणाम = 132
अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता

अतः अच्छा पेन निकलने की प्रायिकता = \(\frac{11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल
समूह में बल्बों की कुल संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
यदि एक बल्ब यदृच्छया निकाला जाता है तो
(i) बल्ब खराब होने के अनुकूल परिणाम = 4
कुल सम्भव परिणाम = 20
बल्ब खराब होने की प्रायिकता

अतः बल्ब खराब होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)

(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है तो इसे पुन: बल्बों के साथ नहीं मिलाया जाता है। शेष बल्बों मे से पुन: एक बल्ब निकाला जाता है।
कुल सम्भव परिणाम = 20 – 1 = 19
तथा खराब बल्ब होने के अनुकूल परिणाम = 4
तब, बल्ब खराब निकलने की प्रायिकता = \(\frac{4}{19}\)
बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{4}{19}\) = \(\frac{15}{19}\)
अत: निकाला गया बल्ब खराब न होने की प्रायिकता = \(\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :
(i) दो अंकों की एक संख्या
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल
डिस्कों की कुल संख्या = 90
यदि एक डिस्क यदृच्छया निकाली जाती है तो
कुल सम्भव परिणाम = (1, 2, 3, 4,……….., 90) = 90
इन परिणामों में दो अंकों वाली संख्याएँ = (10, 11, 12,……….., 90) = 81
(i) दो अंकों की संख्या अंकित डिस्क निकलने के अनुकूल परिणाम = 81
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर दो अंकों की संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) पूर्ण वर्ग संख्याएँ = (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) = 9
डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 9
और कुल सम्भावित परिणाम = 90
अत: डिस्क पर पूर्ण वर्ग संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से. विभाज्य संख्याएँ = (5, 10, 15, 20, ……….., 90) = 18
डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने के अनुकूल परिणाम = 18
और कुल सम्भव परिणाम = 90
अतः डिस्क पर 5 से विभाज्य संख्या अंकित होने की प्रायिकता = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल
दो पासों पर A तथा एक-एक पासे पर B, C, D, E अंकित है।
पासा फेंकने पर कुल सम्भव परिणाम = 6
(i) पासा फेंकने पर A प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 2
अतः पासे पर A अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) D प्राप्त होने के अनुकूल परिणाम = 1
अतः पासे पर D अक्षर आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यदृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?

हल
आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3 × 2 = 6 m²
वृत्त का व्यास = 1 m
वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{1}{2}\) m
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\pi \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
= \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
जब एक पासा यदृच्छया फेंका जाता है, तो उसके गिरने का व्यापक क्षेत्र आयताकार क्षेत्र होगा।
गिरने (पतन) का सम्पूर्ण क्षेत्र = 6 m²
वृत्तीय क्षेत्र में गिरने की घटना का क्षेत्र = \(\frac{\pi}{4} \mathrm{m}^{2}\)
तब, पासे की वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता

अत: पासे के वृत्त के अन्दर गिरने की प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल-पेनों के समूह में 20 बॉल-पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यदृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल
समूह में कुल बॉल-पेनों की संख्या = 144
खराब बॉल-पेनों की संख्या = 20
ठीक बॉल-पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124
पेनों के समूह में से दुकानदार यदृच्छया एक पेन निकालता है
बॉल-पेन के अच्छा-बुरा होने सम्बन्धी कुल सम्भव परिणाम = 144
बॉल-पेन के ठीक होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 124
बॉल-पेन खराब होने की घटना के अनुकूल परिणाम = 20
हम ठीक बॉल-पेन ही खरीदना चाहेंगे।
बॉल-पेन को खरीद लेने की प्रायिकता = \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)
बॉल-पेन के न खरीदने की प्रायिकता = \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)
अत: बॉल-पेन खरीदेंगे इसकी प्रायिकता \(\frac{31}{36}\) और हम वह बॉल-पेन नहीं खरीदेंगे, इसकी प्रायिकता = \(\frac{5}{36}\)

प्रश्न 22.
एक सलेटी और एक नीले पासे को एक साथ फेंका जाता है। दोनों पासों पर प्राप्त होने वाले परिणाम अंकित कीजिए।
(i) निम्न सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः ‘प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल
दो पासों को उछालने पर कुल सम्भव परिणाम निम्न है-
(i) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
n(S) = 36
(a) माना E₁ = दो पासों का योग 3 है = {(1, 2), (2, 1}}
n(E₁) = 2
P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(b) माना E₂ = दो पासों का योग 4 है = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(E₂) = 3
P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(c) माना E₃ = दो पासों का योग 5 है = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
n(E₃) = 4
P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(d) माना E₄ = दो पासों का योग 6 है = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
n(E₄) = 5
P(E₄) = \(\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(e) माना E₅ = दो पासों का योग 7 है = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
n(E₅) = 6
P(E₅) = \(\frac{n\left(E_{5}\right)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
(f) माना E₆ = दो पासों का योग 8 है = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(E₆) = 5
P(E₆) = \(\frac{n\left(E_{6}\right)}{n(S)}=\frac{5}{36}\)
(g) माना E₇ = दो पासों का योग 9 है = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
n(E₇) = 4
P(E₇) = \(\frac{n\left(E_{7}\right)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(h) माना E₈ = दो पासों का योग 10 है = {{4, 6), (5, 5), (6, 4}}
n(E₈) = 3
P(E₈) = \(\frac{n\left(E_{8}\right)}{n(S)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
(i) माना E₉ = दो पासों का योग 11 है = {(6, 5), (5, 6)}
n(E₉) = 2
P(E₉) = \(\frac{n\left(E_{9}\right)}{n(S)}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
(j) माना E₁₀ = दो पासों का योग 12 है = {(6, 6)}
n(E₁₀) = 1
P(E₁₀) = \(\frac{n\left(E_{10}\right)}{n(S)}=\frac{1}{36}\)
अतः दी हुई सारणी पूरित रूप में निम्नवत् है-

(ii) विद्यार्थी का तर्क त्रुटिपूर्ण है क्योंकि सभी 11 घटनाएँ प्रारम्भिक घटनाएँ नहीं हैं। प्रत्येक घटना से सम्बन्धित परिणामों की आवृत्तियाँ भिन्न-भिन्न हैं। अत: विद्यार्थी का तर्क असंगत है।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपये के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल
एक खेल में एक रुपया यदृच्छया तीन बार उछाला जाता है। परिणाम चित को H तथा पट को T से इंगित करें और परिणाम अंकित करें तो सभी सम्भावित परिणाम निम्नवत् होंगे-

अतः हनीफ के हारने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
हल
जब एक पासे को दो बार मे यदृच्छया फेंका जाता है तो फलकों पर प्राप्त अंक निम्नवत् होंगे-

कुल सम्भव परिणाम = 36
वे परिणाम जिनमें 5 आता है = 11
वे परिणाम जिनमें 5 कभी न आता है = 36 – 11 = 25
(i) 5 न आने की घटना के अनुकूल परिणाम = 25
कुल सम्भव परिणाम = 36
5 किसी भी बार न आने की प्रायिकता

अतः 5 किसी भी बार में न आने की प्रायिकता = \(\frac{25}{36}\)

(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणाम = 11
और कुल सम्भव परिणाम = 36
5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता

अत: 5 कम-से-कम एक बार आने की प्रायिकता = \(\frac{11}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो इसके तीन सम्भावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है तो इसके दो सम्भावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।
हल
(i) दो सिक्कों को उछालने पर सम्भव परिणाम = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
तब P(H, H) = \(\frac{1}{4}\) तथा P{T, T) = \(\frac{1}{4}\)
और P{(H, T), (T, H)} = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क असत्य है।

(ii) जब एक पासे को फेंका जाता है तो कुल सम्भव परिणाम = 6
सम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (2, 4, 6) = 3
विषम संख्या आने के अनुकूल परिणाम = (1, 3, 5) = 3
विषम संख्या आने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अत: छात्र का तर्क सत्य है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूत्र \(\bar{x}=a+\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\) में, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए a से विचलन
d_i है, a है
(i) वर्गों की निम्न सीमाएँ
(ii) वर्गों की उच्च सीमाएँ
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु
(iv) वर्गों की बारम्बारताएँ
हल
(iii) वर्गों के मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
जब वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य की गणना करते हैं, तो हम मानते हैं कि बारम्बारताएँ हैं
(i) सभी वर्गों के लिए समान बंटित
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित
(iii) वर्गों की उच्च सीमा पर केन्द्रित
(iv) वर्गों की निम्न सीमा पर केन्द्रित
हल
(ii) वर्गों के वर्ग अंक पर केन्द्रित

प्रश्न 3.
यदि x_i वर्गीकृत आँकड़ों के वर्ग अन्तरालों के मध्य बिन्दु तथा f_i उनकी संगत बारम्बारताएँ और \(\bar{x}\) माध्य हो, तो \(\Sigma\left(f_{i} x_{i}-\bar{x}\right)\) बराबर है
(i) 0
(ii) -1
(iii) 1
(iv) 2
हल
(i) 0

प्रश्न 4.
सूत्र \(\bar{x}=a+h \frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\) में, वर्गीकृत बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात करने के लिए u_i बराबर है
(i) \(\frac{x_{i}+a}{h}\)
(ii) h(x_i – a)
(iii) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)
(iv) \(\frac{a-x_{i}}{h}\)
हल
(iii) \(\frac{x_{i}-a}{h}\)

प्रश्न 5.
वर्गीकृत आँकड़ों का ‘से कम प्रकार का’ और ‘से अधिक प्रकार का’ संचयी बारम्बारता वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के भुज (x-अक्ष) पर काटता है, तब इससे प्राप्त होता है
(i) माध्य
(ii) माध्यिका
(iii) बहुलक
(iv) ये सभी
हल
(ii) माध्यिका

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग की निम्न सीमाओं का योग है
(i) 15
(ii) 25
(iii) 30
(iv) 35
हल
(ii) 25

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा है।
(i) 17
(ii) 17.5
(iii) 18
(iv) 18.5
हल
(iii) 18

प्रश्न 8.
निम्नलिखित बंटन के लिए

बहुलक वर्ग है
(i) 10 – 20
(ii) 20 – 30
(iii) 30 – 40
(iv) 50 – 60
हल
(iii) 30 – 40

प्रश्न 9.
दिए आँकड़े हैं

माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है।
(i) 0
(ii) 19
(iii) 20
(iv) 38
हल
(iii) 20

प्रश्न 10.
110 मी की बाधा दौड़ में 150 एथलीटों द्वारा लिया गया समय (सेकंड में) नीचे सारणीबद्ध किया गया है।

एथलीटों की संख्या जिन्होंने रेस को 14.6 सेकण्ड से कम समय में पूरा किया है।
(i) 11
(ii) 71
(iii) 82
(iv) 130
हल
(iii) 82

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बंटन में विद्यार्थियों की संख्या

वर्ग 30 – 40 की बारम्बारता है
(i) 3
(ii) 4
(iii) 48
(iv) 51
हल
(i) 3

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गणित विषय की परीक्षा में 10 छात्रों ने निम्नलिखित अंक प्राप्त किये
38, 17, 20, 8, 19, 35, 45, 15, 34, 14
प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
पदों को आरोही क्रम में रखने पर,
8, 14, 15, 17, 19, 20, 34, 35, 38, 45
पदों की संख्या N = 10 है जो कि सम है।

प्रश्न 2.
किसी बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए यदि इसकी माध्यिका 45 और बहुलक 13 हो।
हल
बहुलक, माध्य तथा माध्यिका के बीच सम्बन्ध :
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
अथवा 2 × माध्य = 3 × माध्यिका – बहुलक
= 3 × 45 – 13
= 135 – 13
= 122
माध्य = \(\frac{122}{2}\) = 61

प्रश्न 3.
यदि किसी बंटन का माध्य 16 और बहुलक 13 हो तो बंटन माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल
बहुलक = 3 × माध्यिका – 2 × माध्य
⇒ 13 = 3(माध्यिका) – 2 × 16
⇒ 3(माध्यिका) = 13 + 32 = 45
⇒ माध्यिका = \(\frac{45}{3}\) = 15

प्रश्न 4.
यदि प्रेक्षणों x₁, x₂, x₃, ….., x_n, की बारम्बारताएँ क्रमशः f₁, f₂, f₃,…..,f_n हों तो इनका माध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र लिखिए।
हल

प्रश्न 5.
निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :
6, 9, 8, 7, 6, 7, 3, 6, 5, 6, 4
हल
उक्त आँकड़ों के निरीक्षण से हमें ज्ञात होता है कि आँकड़े 6 की आवृत्ति अधिकतम है।
अत: बहुलक = 6

प्रश्न 6.
बहुलक को परिभाषित कीजिए।
हल
आँकड़ों के किसी संग्रह या संकलन में जिस प्रेक्षण की आवृत्ति (बारम्बारता) अधिकतम होती है। उस प्रेक्षण को संग्रह का ‘बहुलक’ कहते हैं।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आँकड़ों से माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 2.
एक कक्षा के 50 छात्रों के भार नीचे की सारणी में प्रदर्शित हैं

इन छात्रों के भार का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल
माना कल्पित माध्य, A = 47 किग्रा

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 4.
निम्नलिखित सारणी से माध्य की गणना कीजिए

हल

प्रश्न 5.
यदि निम्नांकित आँकड़ों का माध्य 15 है तो p का मान ज्ञात कीजिए

हल

प्रश्न 6.
यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य 1.46 है, तो f₁ और f₂ के मान ज्ञात कीजिए:

बारंबारताओं का कुल योगफल 200 है।
हल

⇒ 140 + f₁ + 2f₂ = 1.46 (86 + f₁ + f₂) …….(1)
पुनः बारंबारताओं का योग 86 + f₁ + f₂ = 200
⇒ f₁ + f₂ = 114 …….(2)
समी० (2) से (f₁ + f₂) का मान समी० (1) में रखने पर,
140 + f₁ + 114 = 1.46(86 + 114)
⇒ f₁ = 292 – 254 = 38
समी० (2) से f₂ + 38 = 114
⇒ f₂ = 76
अत: f₁ और f₂ के मान क्रमशः 76 व 38 हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल

यहाँ, N = 43 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद = \(\left(\frac{N+1}{2}\right)\) वाँ पद
= \(\frac{43+1}{2}\) वाँ पद
= 22 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 22वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 29 है।
माध्यिका = 22वें पद का मान = 11

प्रश्न 8.
निम्नलिखित सारणी में माध्यिका जेब खर्च ज्ञात कीजिए

हल
आँकड़ों को आरोही क्रम में रखते हुए संचयी बारंबारता सारणी बनाने पर

यहाँ, N = 61 अर्थात् पदों की संख्या विषम है।
मध्य पद = \(\left(\frac{N+1}{2}\right)\) वाँ पद
= \(\frac{61+1}{2}\) वाँ पद
= 31 वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 31वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 33 है।
माध्यिका = 33 वें पद का मान = 15

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी से माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए

हल
संचयी बारंबारता के लिए सारणी

यहाँ n = 24 अर्थात् पदों की संख्या सम है।
मध्य पद = \(\frac{N}{2}\) वाँ पद + (\(\frac{N}{2}\) + 1) वाँ पद
= \(\frac{24}{2}+\left(\frac{24}{2}+1\right)\) वाँ पद अर्थात् 12वाँ व 13वाँ पद
संचयी बारंबारता सारणी से स्पष्ट है कि 12वाँ व 13वाँ पद उस समूह में है जिसकी संचयी बारंबारता 15 है।

पुनः चूँकि सर्वाधिक बारंबारता 8 पद 25 की है।
अभीष्ट बहुलक = 25

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल

बहुलक के लिए वर्ग 3 – 5 है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 3
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 5 – 3 = 2
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 9
बहुलक वर्ग से ठीक पूर्व की बारम्बारता (f₁) = 8
बहुलक वर्ग से ठीक बाद की बारम्बारता (f₂) = 3

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी को ध्यान से पढ़िए तथा b और d के मान लिखिए

हल
वर्ग 25 – 30 की संचयी बारम्बारता = 9 + b
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = 15
⇒ 9 + b = 15
⇒ b = 15 – 9 = 6
इसी प्रकार, वर्ग 35 – 40 की संचयी बारम्बारता = 22 + 4 = 26
प्रश्नानुसार, संचयी बारम्बारता = d
⇒ d = 26
अतः b = 6 और d = 26

प्रश्न 12.
कक्षा X के 100 विद्यार्थियों द्वारा गणित में प्राप्त अंक नीचे सारणी में दिए गए हैं। प्राप्त अंकों का माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल
असतत श्रेणी को सतत श्रेणी में बदलने पर,

यहाँ, N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 65 के अन्तर्गत है, इसलिए (69.5 – 79.5) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 69.5
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 79.5
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 79.5 – 69.5 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 30
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 35

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य लघु विधि (विचलन विधि) से ज्ञात कीजिए

हल
माना कल्पित माध्य, A = 35 है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य 113\(\frac{23}{29}\) है। इसमें अज्ञात राशि X का मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल
माना कल्पित माध्य, A = 100 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटनों की माध्यिका ज्ञात कीजिए

हल
उपर्युक्त बंटन की संचयी बारंबारता सारणी निम्नवत् है

यहाँ N = 37
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{37}{2}=18.5\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 18.5 संचयी बारम्बारता 29 के अन्तर्गत है, इसलिए (20 – 30) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 20
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 30
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 30 – 20 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 12
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 17

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन के लिए माध्य ज्ञात कीजिए :

हल

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपर्युक्त बंटन को एक कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल
दिए गए बारम्बारता बंटन से “कम प्रकार” का संचयी बारम्बारता बंटन प्राप्त करना

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किए गए :

उपर्युक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार’ का तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यिका भार ज्ञात कीजिए।
हल

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

माध्यिका ज्ञात करना : बिंदु = \(\frac{35}{2}\) = 17.5, Y-अक्ष पर लेकर, X-अक्ष के समान्तर रेखा खींचते हैं। जोकि बिन्दु P पर मिलती है। बिन्दु P का भुज वक्र से ज्ञात करते हैं। यही प्रतिच्छेदी बिन्दु ही अभीष्ट माध्यिका है।
ग्राफ से, माध्यिका भार = 46.5 किग्रा, माध्यिका वर्ग (46 – 48) है।
दिया है, निम्न माध्यिका वर्ग (l₁) = 46, f = 14, cf = 14, वर्ग माप (h) = 2
कुल प्रेक्षण (N) = 35

अत: माध्यिका समान है। जैसा कि हम ग्राफ से देखते हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रति हेक्टेयर गेहूँ का उत्पादन दर्शाते हैं :

इस बंटन को से अधिक प्रकार के बंटन में बदलिए और फिर उसका तोरण खींचिए।
हल
दिए गए बंटन को ‘से अधिक’ प्रकार के बंटन में बदलना

“से अधिक” प्रकार का बंटन

संचयी बारम्बारता वक्र (तोरण)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन किसी मौहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यिका, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

हल
दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए माध्य और माध्यिका की गणना सारणी
माना कल्पित माध्य, A = 115 तथा वर्ग माप, h = 20 है।

यहाँ उपभोक्ताओं की संख्या, N = 68
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{68}{2}=34\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 34 संचयी बारम्बारता 42 के अन्तर्गत है, इसलिए (125 – 145) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 125
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 145
माध्यिका वर्ग का वर्ग विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 245 – 125 = 20
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 22
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 20


बहुलक के लिए : चूँकि अधिकतम बारम्बारता f = 20 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (125 – 145)
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 125
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 145
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 145 – 125 = 20
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
बहुलक वर्ग के ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 13
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 14

तुलनात्मक रूप से तीनों मापें लगभग समान हैं।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए गए बंटन का माध्यिका 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल
संचयी बारम्बारता के लिए सारणी

परन्तु बारम्बारताओं का योग N = 60 है।
अन्तिम वर्ग की संचयी बारम्बारता सभी बारम्बारताओं के योगफल के बराबर होती है।
45 + x + y = 60
⇒ x + y = 15 ……(1)
दिया है, माध्यिका 28.5 है।
माध्यिका वर्ग = (20 से 30 तक)
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 20
माध्यिका वर्ग की अन्य सीमा (l₂) = 30
माध्यिका वर्ग का वर्ग विस्तार (h) = 30 – 20 = 10
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
माध्यिका वर्ग के पूर्व वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = x + 5

⇒ 8.5 = \(\frac{30-x-5}{2}\)
⇒ 17 = 25 – x
⇒ x = 25 – 17
⇒ x = 8 ……(2)
x का मान समी० (1) में रखने पर,
8 + y = 15
⇒ y = 15 – 8 = 7
अत: x = 8 तथा y = 7

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेण्ट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यिका आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परन्तु 60 वर्ष से कम हो।

हल

यहाँ, N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 78 के अन्तर्गत है, इसलिए (35 – 40) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 35
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 40
माध्यिका वर्ग (h) = l₂ – l₁ = 40 – 35 = 5
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 33
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 45

= 35 + \(\frac{(50-45) \times 5}{33}\)
= 35 + \(\frac{25}{33}\)
= 35 + 0.76
= 35.76 वर्ष (लगभग)
अत: माध्यिका = 35.76 वर्ष (लगभग)

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है :

पत्तियों की माध्यिका लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि आँकड़ें सतत् नहीं है। अत: हमें माध्यिका ज्ञात करने के लिए इन्हें सतत् में बदलने की आवश्यकता है, तब वर्ग 117.5 – 126.5, 126.5 – 135.5…; 171.5 – 180.5 में बदल जाएँगे।
तब, परिकलित संचयी बारम्बारता सारणी

N = 40
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{40}{2}=20\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 20 संचयी बारम्बारता 29 के अन्तर्गत है, इसलिए (144.5 – 153.5) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 144.5
माध्यिका वर्ग उच्च सीमा (l₂) = 153.5
वर्गमाप या माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 153.5 – 144.5 = 9
.माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 12
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 17


अत: पत्तियों की माध्यिका लम्बाई = 146.75 मिमी

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 निऑन लैम्पों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है:

एक लैम्प का माध्यिका जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल
माध्यिका हेतु संचयी बारम्बारता सारणी

यहाँ N = 400
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{400}{2}=200\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 200 संचयी बारम्बारता 216 के अन्तर्गत है, इसलिए (3000 – 3500) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 3000
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 3500
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 3500 – 3000 = 500
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 86
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 130


अत: लैम्पों का माध्यिका जीवनकाल = 3406.98 घण्टे

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त हुआ:

कुलनामों में माध्यिका अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल
माध्यिका एवं माध्य की गणना के लिए सारणी

यहाँ N = 100
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{100}{2}=50\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 50 संचयी बारम्बारता 76 के अन्तर्गत है, इसलिए (7 – 10) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 7
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 10
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 10 – 7 = 3
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 36

अतः कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या 8.32 है।
बहुलक के लिए : बहुलक वर्ग = 7 – 10, है, क्योंकि इसकी अधिकतम बारम्बारता f = 40 है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 7
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 10
बहुलक वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 10 – 7 = 3
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
बहुलक वर्ग के ठीक पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 30
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 16

अतः कुलनामों का बहुलक 7.88 है।

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यिका भार ज्ञात कीजिए।

हल
माध्यिका की गणना के लिए संचयी बारम्बारता सारणी

यहाँ, N = 30
⇒ \(\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15\)
संचयी बारम्बारता सारणी से स्पष्ट है कि 15 संचयी बारम्बारता 19 के अन्तर्गत है, इसलिए (55 – 60) माध्यिका वर्ग हुआ।
माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 55
माध्यिका वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 60
माध्यिका वर्ग का वर्ग अन्तराल (h) = l₂ – l₁ = 60 – 55 = 5
माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (f) = 6
माध्यिका वर्ग के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 13

अत: विद्यार्थियों के भार का माध्यिका = 56.67 किग्रा (लगभग)

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है:

उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
हल
केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों के लिए गणना सारणी
माना कल्पित माध्य A = 40


बहुलक के लिए : अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = (35 – 45)
बहुलक वर्ग (Modal Class) = (35 – 45)
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 35
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 45
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 23
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 21
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 14
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 45 – 35 = 10

अत: आँकड़ों का माध्य = 35.375 वर्ष तथा बहुलक = 36.8 वर्ष।
इसका अर्थ है कि सम्बन्धित वर्ष में अधिकांश रोगी 36.8 वर्ष के हैं जबकि सभी रोगियों की औसत आयु 35.375 वर्ष है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल (घण्टों में) की सूचना देते हैं:

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल
दिए गए आँकड़ों का बहुलक वर्ग (60 – 80) है, क्योंकि इस वर्ग की बारम्बारता दिए गए आँकड़ों के वर्ग में सबसे अधिक है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 60
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 80
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 61
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 52
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 38
बहुलक वर्ग का आकार या विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 80 – 60 = 20

अत: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल = 65.625 घण्टे।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

हल
निरीक्षण से, बहुलक वर्ग = अधिकतम बारम्बारता वाला वर्ग = 1500 – 2000
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = ₹ 1500
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = ₹ 2000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 2000 – 1500 = ₹ 500
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 40
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 24
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 33

माध्य व्यय के लिए गणना सारणी
माना व्यय का कल्पित माध्य A = ₹ 2750 है और वर्ग विस्तार (माप) h = ₹ 500

माध्य मासिक व्यय \((\bar{x})=A+h \frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\) (जहाँ, h = 500)
= 2750 + 500 × \(\frac{(-35)}{200}\)
= 2750 + (2.5 × -35)
= 2750 + (-87.5)
= 2662.50
अतः व्यय का बहुलक = 1847.84 तथा व्यय का माध्य = ₹ 2662.50

प्रश्न 4.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

हल
चूँकि सबसे अधिक बारम्बारता f = 10 है।
अत: इसका बहुलक वर्ग (30 – 35) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 30
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 35
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = l₂ – l₁ = 35 – 30 = 5
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 10
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 9
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 3


माध्य गणना हेतु सारणी
माना प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या का कल्पित माध्य A = 27.5 है।

अत: भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार प्रति शिक्षक विद्यार्थियों का माध्य 29.2 है जबकि अधिकांश राज्यों में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 30.625 है।

प्रश्न 5.
दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एक दिवसीय अन्तर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है :

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता f = 18 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (4000 – 5000) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 4000
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 5000
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 5000 – 4000 = 1000
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 18
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 4
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 9

प्रश्न 6.
एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट की और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से सम्बन्धित है। ऐसे 100 अन्तरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल
चूँकि अधिकतम बारम्बारता 20 है। इसलिए इसका बहुलक वर्ग (40 – 50) है।
बहुलक वर्ग = 40 – 50
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l₁) = 40
बहुलक वर्ग की उच्च सीमा (l₂) = 50
बहुलक वर्ग का विस्तार (h) = 50 – 40 = 10
बहुलक वर्ग की बारम्बारता (f) = 20
बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता (f₁) = 12
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता (f₂) = 11

अत: सड़क पर प्रति तीन मिनट के अन्तरालों में अधिकांश अन्तरालों में गुजरने वाली कारों की संख्या (बहुलक) = 44.7

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

Bihar Board Class 10 Maths सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मौहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
हल
हम आँकड़ों का माध्य प्रत्यक्ष (सरल)विधि से ज्ञात करेंगे क्योंकि अंक छोटे (कम) हैं।

अतः प्रति घर में पौधों की औसत संख्या = 8.1 पौधे। यहाँ xi व fi के मान अत्यधिक कम होने के कारण प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया गया है।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल

अतः श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी = ₹ 145.20

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मौहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च ₹ 18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए:

हल
पहले दिए गए बंटन से औसत जेब खर्च निकाला जाएगा, तब गणना किए गए जेब खर्च और प्रश्न में दिए गए जेब खर्च में समानता स्थापित कर f का मान ज्ञात किया जा सकता है।

⇒ 792 + 18f = 752 + 20f
⇒ 2f = (792 – 752)
⇒ 2f = 40
⇒ f = 20
अतः लुप्त बारम्बारता f = 20

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पन्दन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पन्दन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए :

हल
यहाँ दिए गए वर्गों (65 – 68), (68 – 71),…….. के मध्य बिन्दु क्रमश: 66.5, 69.5, …… इत्यादि हैं; अतः विचलन विधि का प्रयोग उपयुक्त हैं।
प्रति मिनट हृदय स्पन्दन के माध्य हेतु गणना सारणी
माना स्पन्दन का कल्पित माध्य, A = 75.5 है।

अत: महिलाओं के प्रति मिनट माध्य हृदय स्पन्दन की संख्या = 75.9

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन
निम्नलिखित था:

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल
माध्य के लिए गणना सारणी
माना प्रत्येक पेटी में आमों की कल्पित माध्य, A = 57 और वर्ग माप h = 3 है।

अत: आमों की माध्य संख्या = 57.1875 या 57.19
हमने माध्य ज्ञात करने के लिए कल्पित माध्य विधि का प्रयोग किया है।
वैकल्पिक विधि
चूँकि दिए गए आँकड़े सतत् नहीं है। अतः हम प्रत्येक वर्ग की उच्च सीमा में 0.5 जोड़ते हैं तथा निम्न सीमा में से 0.5 घटाते हैं।

यहाँ, A = 57, h = 3, N = 400 तथा Σf_iu_i = 25
मानक विचलन विधि से,

अत: आमों की माध्य संख्या = 57.19

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मौहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है :

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल
दैनिक भोजन व्यय की गणना हेतु सारणी
माना कल्पित माध्य, A = ₹ 225 और वर्ग माप, h = 50 है।

अतः प्रति परिवार भोजन पर होने वाले दैनिक व्यय का माध्य = ₹ 211

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मौहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल
वायु में सल्फर डाइऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता ज्ञात करने के लिए गणना सारणी

अत: वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य = 0.999 भाग प्रति मिलियन।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए :

हल
विद्यार्थियों की माध्य अनुपस्थिति के लिए गणना सारणी

अतः विद्यार्थियों की अनुपस्थिति का माध्य = 12.75 ~ 12.48 दिन

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

हल
माध्य साक्षरता दर के लिए गणना सारणी
माना औसत साक्षरता दर का कल्पित माध्य, A = 70%

अत: साक्षरता दर के प्रतिशत का माध्य = 69.43

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक किनारे पर नुकीली बनायी गयी एक बेलनाकार पेंसिल निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक शंकु और एक बेलन
(ii) शंकु का छिन्नक और एक बेलन
(iii) एक अर्धगोला और एक बेलन
(iv) दो बेलन
हल
(i) एक शंकु और एक बेलन

प्रश्न 2.
एक सुराही निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक गोला और एक बेलन
(ii) एक अर्द्धगोला और एक बेलन
(iii) दो अर्द्धगोले
(iv) एक बेलन और एक शंकु
हल
(i) एक गोला और एक बेलन

प्रश्न 3.
एक साहुल निम्नलिखित का संयोजन है (आकृति देखिए)

(i) एक शंकु और एक बेलन
(ii) एक अर्द्धगोला और एक शंकु
(iii) शंकु का छिन्नक और एक बेलन
(iv) गोला और बेलन
हल
(ii) एक अर्द्धगोला और एक शंकु

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, एक गिलास का आकार प्रायः निम्न रूप से होता है

(i) एक शंकु
(ii) शंकु का छिन्नक
(iii) एक बेलन
(iv) एक गोला
हल
(ii) शंकु का छिन्नक

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में, गिल्ली-डंडे के खेल में, गिल्ली का आकार निम्नलिखित का संयोजन है

(i) दो बेलन
(ii) एक शंकु और एक बेलन
(iii) दो शंकु और एक बेलन
(iv) दो बेलन और एक शंकु
हल
(iii) दो शंकु और एक बेलन

प्रश्न 6.
बैडमिंटन खेलने में प्रयोग की जाने की जाने वाली शटलकॉक (चिड़िया) का आकार निम्नलिखित का संयोजन है
(i) एक बेलन और एक गोला
(ii) एक बेलन और एक अर्द्धगोला
(iii) एक गोला और एक शंकु
(iv) शंकु का छिन्नक और अर्द्धगोला
हल
(iv) शंकु का छिन्नक और अर्द्धगोला

प्रश्न 7.
एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल की सहायता से काटा जाता है और फिर तल के एक ओर बने शंकु को हटा दिया जाता है। तल के दूसरी ओर बचा हुआ नया भाग कहलाता है एक
(i) शंकु का छिन्नक
(ii) शंकु
(iii) बेलन
(iv) गोला
हल
(i) शंकु का छिन्नक

प्रश्न 8.
विमाओं 49 cm × 33 cm × 24 cm के घनाभ के आकार के लोहे के किसी ठोस टुकड़े को पिघलाकर एक ठोस गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिज्या है
(i) 21 cm
(ii) 23 cm
(iii) 25 cm
(iv) 19 cm
हल
(i) 21 cm

प्रश्न 9.
त्रिज्या r सेमी और ऊँचाई h सेमी (h > 2r) वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन में ठीक समावेशित होने वाले गोले का व्यास
(i) r cm
(ii) 2r cm
(iii) h cm
(iv) 2h cm
हल
(ii) 2r cm

प्रश्न 10.
लम्बवृत्तीय शंकु में, आधार के समांतर खींचे गए तल द्वारा काटे गए अनुप्रस्थ परिच्छेद को कहते हैं
(i) वृत्त
(ii) शंकु का छिन्नक
(iii) गोला
(iv) अर्धगोला
हल
(i) वृत्त

प्रश्न 11.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है
(i) 3 : 4
(ii) 4 : 3
(iii) 9 : 16
(iv) 16 : 9
हल
(iv) 16 : 9

प्रश्न 12.
एक ठोस को एक आकृति से दूसरी आकृति में रूपान्तरित करने पर नई आकृति का आयतन
(i) बढ़ेगा
(ii) घटेगा
(iii) पहले के समान
(iv) दो गुना
हल
(iii) पहले के समान

प्रश्न 13.
यदि समान त्रिज्या r के दो अर्द्धगोलों को उनके आधारों से जोड़ा जाता है, तब नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है
(i) 4πr²
(ii) 6πr²
(iii) 3πr²
(iv) 8πr²
हल
(i) 4πr²

प्रश्न 14.
यदि 10 cm कोर के घनाकार लकड़ी के टुकड़े से काटकर अधिकतम आयतन का एक शंकु बनाया गया तो शंकु का आयतन होगा
(i) 260 cm³
(ii) 260.9 cm³
(iii) 261.9 cm³
(iv) 262.7 cm³
हल
(iii) 261.9 cm³

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक 22 cm लम्बे और 18 cm चौड़े दफ्ती के टुकड़े को मोड़कर 18 cm ऊँचा एक बेलन बनाया गया है। इस प्रकार बने हुए बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
दफ्ती के टुकड़े की माप 22 cm × 18 cm
इसे मोड़कर 18 cm ऊँचा बेलन बनाया गया है।
अतः आधार की परिधि = 22 cm
2πr = 22
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 22
⇒ r = \(\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2}\) cm
अत: बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 18\)
= 693 cm³

प्रश्न 2.
एक धातु के ठोस गोले की त्रिज्या 10 cm है। उसको पिघलाकर 2 cm त्रिज्या की गोलियाँ बनाई गई हैं। इस प्रकार की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल
ठोस गोले की त्रिज्या (R) = 10 cm
छोटी गोली की त्रिज्या (r) = 2 cm
गोले को पिघलाकर बनी गोलियों की संख्या

प्रश्न 3.
6 cm त्रिज्या का एक ठोस गोला पिघलाकर उसी त्रिज्या के वृत्ताकार आधार का एक ठोस लम्ब बेलन तैयार किया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना बेलन की ऊँचाई h है।
प्रश्नानुसार, गोले का आयतन = बेलन का आयतन
\(\frac{4}{3}\) πr³ = πr²h
\(\frac{4}{3}\) π(6)³ = π × (6)² × h [∵ त्रिज्या = 6 cm]
h = \(\frac{4}{3}\) × 6 = 8 cm
अतः बेलन की ऊँचाई 8 cm है।

प्रश्न 4.
एक शंकु तथा एक बेलन के आधार तथा ऊँचाइयाँ समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु व बेलन में प्रत्येक के आधार की त्रिज्या r cm तथा प्रत्येक की ऊँचाइयाँ h cm हैं।
तब, शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3}\) πr²h तथा बेलन का आयतन = πr²h

अतः शंकु का आयतन : बेलन का आयतन = 1 : 3

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7.0 cm कोर वाले लकड़ी के घन से अधिकतम आयतन का लम्बवृत्तीय बेलन बनाया जाता है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
अधिकतम आयतन वाले बेलन के आधार का व्यास = घन की कोर = 7 cm
बेलन की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
तथा बेलन की ऊँचाई (h) = घन की कोर = 7 cm
अभीष्ट बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 7\)
= 22 × \(\frac{49}{4}\)
= 269.5 cm³

प्रश्न 2.
3 cm कोर के एक घन में 1.4 cm व्यास का एक छेद किया गया है। छेद का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल

छेद बेलनाकार होगा जिसकी त्रिज्या
r = \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{1.4}{2}\) = 0.7 cm
तथा ऊँचाई (h) = घन की कोर = 3 cm
छेद का आयतन = πr²h = \(\frac{22}{7}\) × (0.7)² × 3 = 4.62 cm³

प्रश्न 3.
π घन dm³ ताँबे को गलाकर एक km लम्बा (बेलनाकार) तार बनाया गया है। तार की त्रिज्या व व्यास ज्ञात कीजिए।
हल
ताँबे का आयतन = π dm³ = \(\frac{\pi}{1000}\) m³
तार की लम्बाई (l) = 1 km = 1000 m, तार की त्रिज्या r = ?
प्रश्नानुसार, πr²l = \(\frac{\pi}{1000}\)
⇒ r² × 1000 = \(\frac{1}{1000}\)
⇒ r² = \(\frac{1}{1000 \times 1000}\)
⇒ r = \(\frac{1}{1000}\) m
तार की त्रिज्या (r) = 0.1 cm
तार का व्यास = 2 × 0.1 = 0.2 cm

प्रश्न 4.
एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 cm तथा लम्ब 5 cm है। इस त्रिभुज को आधार के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार बने परिक्रमण ठोस का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल

इस प्रकार बना परिक्रमण ठोस एक शंकु होगा जिसकी त्रिज्या (r) = 5 cm
तथा ऊँचाई (h) = 12 cm
तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{5^{2}+12^{2}}\)
= \(\sqrt{169}\)
= 13 cm
परिक्रमण ठोस का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi \times(5)^{2} \times 12\)
= 100π cm³
तथा वक्रपृष्ठ = πrl = π × 5 × 13 = 65π cm³

प्रश्न 5.
एक लम्बवृत्तीय शंकु और एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्याएँ समान हैं। यदि उनके आयतनों का अनुपात 2 : 3 है, तो उनकी ऊँचाइयों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु और बेलन की त्रिज्या = r तथा उनकी ऊँचाइयाँ क्रमश: h₁ व h₂ हैं।
तब, उनके आयतनों का अनुपात = \(\frac{\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{1}}{\pi r^{2} h_{2}}=\frac{h_{1}}{3 h_{2}}\)
प्रश्नानुसार दिया है, आयतनों का अनुपात = 2 : 3
\(\frac{h_{1}}{3 h_{2}}=\frac{2}{3}\)
⇒ \(\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{2}{1}\) = 2 : 1

प्रश्न 6.
3.0 m ऊँचे एक ऐसे शंक्वाकार डेरे के लिए कितने m² किरमिच की आवश्यकता होगी, जिसमें 1.5 m लम्बा लड़का केन्द्र से 2 m की दूरी तक खड़ा हो सके?
हल
माना केन्द्र O से 2 m की दूरी पर बिन्दु C पर 1.5 m लम्बा लड़का CD सीधा खड़ा है।
इस स्थिति में लड़के का सिर शंकु के वक्रपृष्ठ को छूता है।

माना, डेरे के आधार की त्रिज्या (OB) = r m
CB = (r – 2) m
∆VOB तथा ∆DCB समरूप हैं,
\(\frac{O V}{D C}=\frac{O B}{C B}\)
⇒ \(\frac{3}{1.5}=\frac{r}{r-2}\)
⇒ 2r – 4 = r
⇒ r = 4 m
डेरे की तिरछी ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 m
डेरे का वक्रपृष्ठ = πrl = π × 4 × 5 m² = 20π m²
अत: डेरे के लिए 20π m² किरमिच की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 7.
एक लम्बवृत्तीय बेलन और लम्बवृत्तीय शंकु के आधार और ऊँचाइयाँ समान हैं। यदि उनके वक्रपृष्ठ 8 : 5 के अनुपात में हों, तो दिखाइए कि उनके आधार की त्रिज्या और ऊँचाई में 3 : 4 का अनुपात है।
हल
माना त्रिज्याएँ r व ऊँचाई h हैं।
तब बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πrh
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\)

प्रश्न 8.
एक ठोस बेलन, जिसकी त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 5 cm है, के एक सिरे पर एक ठोस शंकु जिसके आधार की त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm है, रखकर एक ठोस बनाया गया है। इस प्रकार बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = 3 cm, ऊँचाई (h₁) = 5 cm
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = 3 cm, ऊँचाई (h₂) = 4 cm
ठोस का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + शंक्वाकार भाग का आयतन

प्रश्न 9.
6.0 dm त्रिज्या और 2.0 dm ऊँचाई के एक ठोस बेलन को पिघलाया जाता है और उससे एक लम्बवृत्तीय शंकु, जिसकी ऊँचाई बेलन की ऊँचाई की तीन गुनी है, बनाया जाता है। शंकु का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल
बेलन की त्रिज्या r₁ = 6.0 dm तथा ऊँचाई h₁ = 2 dm
माना शंकु की त्रिज्या = r₂
तथा शंकु की ऊँचाई (h₂) = 3h₁ = 3 × 2 = 6 dm
बेलन को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है।
बेलन का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 10.
7 cm की भुजा वाले एक घन से एक बड़ा से बड़ा गोला काटकर निकाल लिया गया है। इस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल
घन से काटे गये बड़े से बड़े गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा।
गोले का व्यास = घन की भुजा = 7 cm
गोले की त्रिज्या = \(\frac{7}{2}\) cm

प्रश्न 11.
12 cm की त्रिज्या के एक बेलनाकार टब में 20 cm ऊँचाई तक पानी भरा है। लोहे की एक गोलीय गेंद टब में डाली जाती है और इस प्रकार पानी का स्तर 6.75 cm ऊपर उठ जाता है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
बेलन की त्रिज्या (r) = 12 cm
लोहे की गोलीय गेंद को टब में डालने पर,
पानी के तल में वृद्धि (h) = 6.75 cm
ऊपर उठे पानी का आयतन = πr²h = π × 12 × 12 × 6.75 cm³
माना लोहे की गोलीय गेंद की त्रिज्या R cm है, तो
गोलीय गेंद का आयतन = \(\frac{4}{3}\) πR³
गोलीय गेंद का आयतन = ऊपर उठे पानी का आयतन

अतः गेंद की त्रिज्या = 9 cm

प्रश्न 12.
एक बेलनाकार बर्तन का व्यास 21 cm है। इसमें कुछ पानी भरा है। एक ठोस गोला जिसका व्यास 10.5 cm है, उस बर्तन में डाला जाता है। गोला पानी में डूब जाता है। गणना कीजिए कि पानी का तल कितना ऊपर उठता है?
हल
दिया है, धातु के गोले का व्यास = 10.5 cm = \(\frac{21}{2}\) cm
धातु के गोले की त्रिज्या (R) = \(\frac{21}{4}\) cm
धातु के गोले का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{21}{4}\right)^{3}\)
दिया है, बेलनाकार बर्तन की त्रिज्य (r) = \(\frac{21}{2}\) cm
माना गोला डालने पर बर्तन में पानी का तल h cm ऊपर उठेगा।
बेलनाकार बर्तन में ऊपर उठे पानी का आयतन = गोले का आयतन

अत: गोले को डुबाने पर \(\frac{7}{4}\) cm पानी की सतह ऊपर उठेगी।

प्रश्न 13.
एक ही वृत्तीय आधार पर समान ऊँचाई के शंकु, अर्द्धगोला और बेलन के आयतन के अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना समान वृत्तीय आधार की त्रिज्या = r
अर्द्धगोले की ऊँचाई (h) = r
शंकु की ऊँचाई (h’) = r
बेलन की ऊँचाई (H) = r
शंकु का आयतन : अर्द्धगोले का आयतन : बेलन का आयतन

प्रश्न 14.
उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जो 6 cm, 8 cm और 10 cm की त्रिज्या के 3 गोलों को गलाकर बनाया जाता है।
हल
माना गोले की त्रिज्या = R
दिये गए तीन गोलों की त्रिज्या, r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm तथा r₃ = 10 cm
गोला तीनों गोलों को गलाकर बनाया जाता है।
बड़े गोले का आयतन = तीनों छोटे गोलों का आयतन

प्रश्न 15.
एक खोखला गोला जिसका आन्तरिक और बाह्य व्यास 4.0 cm और 8.0 cm है, को पिघलाकर एक शंकु, जिसके आधार का व्यास 8.0 cm है, बनाया जाता है। शंक की ऊँचाई का वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल
माना शंकु की ऊँचाई h है।
दिया है, खोखले गोले की आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = \(\frac{4}{2}\) = 2 cm
खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या (r₂) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
चूँकि खोखले गोले को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है।
खोखले गोले का आयतन = शंकु का आयतन

प्रश्न 16.
पानी से भरे एक अर्द्धगोलीय टैंक को एक पाइप द्वारा \(3 \frac{4}{7}\) ली प्रति सेकण्ड की दर से खाली किया जाता है। यह टैंक को आधा खाली करने में कितना समय लेगा? यदि टैंक का व्यास 3 m है। (π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए)
हल
अर्द्धगोलीय टैंक का व्यास = 3 m
अर्द्धगोलीय टैंक की त्रिज्या (r) = \(\frac{3}{2}\) m

टैंक को खाली होने में 16.5 min का समय लगेगा।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक ठोस लम्बवृत्तीय बेलन के दोनों सिरों में दो समान शंक्वाकार छेद बनाये गये हैं। बेलन की ऊँचाई 10 cm और आधार का व्यास 8 cm है।यदि छेद का व्यास 6 cm और गहराई 4 cm है तो शेष बचे ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र में शेष आकृति को प्रदर्शित किया गया है।
शंक्वाकार छेद का व्यास = 6 cm
शंक्वाकार छेद की त्रिज्या (r) = 3 cm
शंक्वाकार छेद की गहराई (h) = 4 cm
एक शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
= \(\frac{1}{3} \pi\) × 3 × 3 × 4
= 12π cm³
दोनों शंकुओं का आयतन = 2 × 12π = 24π cm³
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{4^{2}+3^{2}}\)
= \(\sqrt{16+9}\)
= \(\sqrt{25}\)
= 5 cm
एक शंकु का वक्रपृष्ठ = πrl = π × 3 × 5 = 15π cm²
दोनों शंकुओं का वक्रपृष्ठ = 2 × 15π cm² = 30π cm²
दिया है, बेलन की ऊँचाई (H) = 10 cm
बेलन के आधार का व्यास = 8 cm
बेलन की त्रिज्या (R) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
बेलन का आयतन = πR²H
= π × 4 × 4 × 10
= 160π cm³
शेष ठोस का आयतन = बेलन का आयतन – दोनों शंकुओं का आयतन
= (160π – 24π) cm³
= 136π cm³
शेष आकृति का सम्पूर्ण पृष्ठ = बेलन का वक्रपृष्ठ + दोनों शंकुओं का वक्रपृष्ठ + सिरों के छल्लों का क्षेत्रफल
= 2πRH + 2πrl + 2π(R² – r²)
= 2 × π × 4 × 10 + 2 × π × 3 × 5 + 2π(4² – 3²)
= 80π + 30π + 2π(16 – 9)
= 124π cm²
अत: शेष आकृति का सम्पूर्ण पृष्ठ 124π cm² और आयतन 136π cm³ है।

प्रश्न 2.
एक केनवास के टेंट का शीर्ष ऊपर से शंक्वाकार तथा नीचे से लम्बवत्तीय बेलन के रूप का है। यदि आधार का व्यास 24 m और सम्पूर्ण ऊँचाई 15 m है तो टेंट में कितने m² केनवास की आवश्यकता होगी, जबकि टेंट के बेलनाकार भाग की ऊँचाई 10 m है।
हल

आधार का व्यास = 24 m
त्रिज्या (r) = \(\frac{24}{2}\) = 12 m
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h) = सम्पूर्ण ऊँचाई – बेलनाकार भाग की ऊँचाई
= 15 – 10
= 5 m
शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई

आवश्यक केनवास = टेंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh’ + πrl
= πr(2h’ + l)
= π × 12(2 × 10 + 13)
= 12π × 33
= 396π m²

प्रश्न 3.
एक ठोस, बेलन के आकार का है तथा इसके दोनों सिरे अर्द्धगोलीय हैं। इस ठोस की कुल ऊँचाई 19 cm है तथा बेलन का व्यास 7 cm है। ठोस का आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए। इस ठोस का भार ज्ञात कीजिए यदि 1 cm³ धातु का भार 4.5 g है। (π = \(\frac {22}{7}\))
हल
चित्रानुसार अर्द्धगोलीय भाग की त्रिज्या (r) = बेलनाकार भाग की त्रिज्या
= \(\frac{\text { व्यास }}{2}=\frac{7}{2}\) cm

बेलनाकार भाग की लम्बाई = (19 – 2 × \(\frac{7}{2}\)) cm = 12 cm
ठोस का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + 2 × अर्द्धगोलीय भाग का आयतन

ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ = बेलन का वक्रपृष्ठ + 2 × अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ
= 2πrh + 2 × 2πr²
= 2πr(h + 2r)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2}\left(12+2 \times \frac{7}{2}\right)\)
= 22 × 19
= 418 cm²
ठोस का भार = 4.5 × ठोस का आयतन
= 4.5 × 641.67
= 2887.5 g
अत: ठोस का आयतन 641.67 cm³ तथा सम्पूर्ण पृष्ठ 418 cm3 व भार 2887.5 g है।

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

प्रश्न 1.
व्यास 3 mm वाले ताँबे के तार को 12 cm लम्बे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के व्रक पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का द्रव्यमान 8.88 g/cm³ हैं।
हल
बेलन का व्यास = 10 cm तथा बेलन की ऊँचाई = 12 cm
बेलन की परिधि = π × व्यास = π × 10 = 10π cm
बेलन पर 1 चक्कर लपेटने के लिए तार की लम्बाई = 10π cm
जब बेलन पर तार का 1 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी 3 mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 2 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (2 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 3 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (3 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
जब बेलन पर तार के 4 चक्कर लपेटते हैं तो उसकी (4 × 3) mm लम्बाई ढक जाती है।
तब, सम्पूर्ण बेलन को ढकने के लिए तार के \(\frac{120}{3}\) = 40 चक्कर लपेटने होंगे।
40 चक्कर बेलन पर लपेटने के लिए आवश्यक तार की माप
= 40 × 10π
= 400π cm
= 400 × 3.14 cm
= 1256 cm
= 12.56 m (लगभग)
अत: तार की अभीष्ट लम्बाई = 12.56 m
तथा तार का द्रव्यमान = 1256 × 8.88 g
= 11153.3 g
= 11.153 kg

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (r का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
हल

अतः समकोण ∆ABC के परिक्रमण से बने द्वि-शंकु की त्रिज्या (r) = 2.4 cm
तब, द्वि-शंकु (दोनों शंकुओं) का आयतन = शंकु (ABB’) का आयतन + शंकु (CBB’) का आयतन
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AO) + \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (OC)
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AO + OC)
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2}\) (AC) (∵ AO + OC = AC)
= \(\frac{1}{3} \pi\) × (2.4)² × 5
= 9.6π
= 9.6 × 3.14
= 30.144 cm³
और द्वि-शंकु (दोनों शंकुओं) का पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (ABB’) का वक्रपृष्ठ + शंकु (CBB’) का वक्र पृष्ठ
= πr(AB) + πr(BC)
= πr(AB + BC)
= 3.14 × 2.4 × (4 + 3)
= 3.14 × 2.4 × 7
= 52.75 cm²
अतः द्वि-शंकु का आयतन = 30.144 cm³
तथा पृष्ठीय क्षेत्रफल = 52.75 cm² (लगभग)।

प्रश्न 3.
एक टंकी, जिसके आन्तरिक मापन 150 cm × 120 cm × 110 cm हैं, में 129600 cm³ पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac{1}{17}\) पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm × 7.5 cm × 6.5 cm है तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
हल
टंकी का आयतन = 150 × 120 × 110 cm³ = 1980000 cm³
टंकी में भरे पानी का आयतन = 129600 cm³
प्रत्येक ईंट का आयतन = 22.5 × 7.5 × 6.5 cm³ = 1096.875 cm³
माना टंकी में x ईंटें डालने पर टंकी पानी से ऊपर तक भर जाएगी।
तब, x ईंटों का आयतन = 1096.875x cm³
तब, ईंटों द्वारा शोषित पानी का आयतन = 1096.875 × \(\frac{1}{17}\) = \(\frac{1096.875 x}{17}\) cm³
तब, टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = (129600 – \(\frac{1096.875 x}{17}\)) cm³
तब, x ईंटों का आयतन + टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = टंकी का आयतन
⇒ 1096.875 x + 129600 – \(\frac{1096.875 x}{17}\) = 1980000
⇒ 1096.8757x – \(\frac{1096.875 x}{17}\) = 1980000 – 129600
⇒ 1096.875x(1 – \(\frac{1}{17}\)) = 1850400
⇒ 1096.875x = \(\frac{1850400 \times 17}{16}\)
⇒ x = \(\frac{1850400 \times 17}{16 \times 1096.875}\) = 1792.4
⇒ x = 1792
अत: टंकी में डाली गई ईंटों की संख्या 1792 (लगभग) है।

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 97280 km² है तो दर्शाइए कि कल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लम्बी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।
हल
प्रत्येक नदी का आयतन = 1072 km × 75 m × 3 m
= 1072 × 75 × 3 × 1000 m³
= 241200000 m³
तीनों नदियों के कुल पानी का आयतन = 3 × 241200000 m³
नदियों का कुल पानी = 723600000 m³
घाटी का क्षेत्रफल = 97280 km²
= 97280 × (1000)² m²
= 97280000000 m²
वर्षा के पानी का आयतन = 97280000000 × \(\frac{10}{100}\) m3 (∵ 10 cm = \(\frac{10}{100}\) m)
= 9728000000 m³
ये दोनों आयतन बराबर होने चाहिए लेकिन ये बराबर नहीं हैं।
इससे स्पष्ट है कि प्रश्न में दिए तथ्य असंगत हैं।

प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 cm लम्बे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 10 cm
कुप्पी की कुल ऊँचाई = 22 cm
शंकु के छिन्नक की ऊँचाई (H) = 22 – 10 = 12 cm
शंकु के छिन्नक की ऊपरी त्रिज्या (R₁) = \(\frac{18}{2}\) = 9 cm
शंकु के छिन्नक की निचली त्रिज्या (R₂) = \(\frac{8}{2}\) = 4 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = 4 cm
बेलनाकार भाग का वक्रपृष्ठ = 2πrh
= 2π × 4 × 10
= 80π cm²
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई

शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठ = π(R₁ + R₂)l
= π(9 + 4) × 13
= 169π cm²
अतः कुप्पी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठ + शंकु छिन्नक का वक्र पृष्ठ
= 80π + 169π
= 249π cm²
= 249 × \(\frac{22}{7}\) cm²
= \(\frac{5478}{7}\) cm²
= 782\(\frac{4}{7}\) cm²
अत: कुप्पी को बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल = 782\(\frac{4}{7}\) cm²

प्रश्न 6.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों को सिद्ध कीजिए।
हल

माना एक शंकु (VAB) का शीर्ष V, आधार की त्रिज्या r₂ और तिर्यक ऊँचाई l₂ है। इस शंकु के शीर्ष V से h₁ नीचे स्थित बिन्दु O’ से आधार के समान्तर एक शंकु (VCD) काटा गया है जिसकी त्रिज्या r₁ तथा तिर्यक ऊँचाई l₁ है।
बिन्दु D से आधार पर लम्ब DE खींचा।
ΔVOD तथा ΔDOB में,
∠VO’D = ∠DEB [∵ VO ⊥ AB और VO’ ⊥ CD]
∠VDO’ = ∠DBE [संगत कोण]
ΔVOD और ΔDEB समरूप हैं।

छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (VAB) का वक्र पृष्ठ – शंकु (VCD) का वक्र पृष्ठ
= πr₂l₂ – πr₁l₁
= πr₂(l₁ + BD) – πr₁l₁
= πr₂l₁ + πr₂ (BD) – πr₁l₁
= π(r₂ – l₁) l₁ + πr₂l (जहाँ BD = l = छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है।)
= π(r₂ – r₁) \(\left(\frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}\right)\) l + πr₂l [समी०(1) से]
= πr₁l + πr₂l
अत: छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
इति सिद्धम्
और छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्र पृष्ठ + पहले सिरे का क्षेत्रफल + दूसरे सिरे का क्षेत्रफल
= π(r₁ + r₂) l + \(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}\)
= π(r₁ + r₂) l + \(\pi\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, स्पष्ट संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का सूत्र सिद्ध कीजिए।
हल
पिछले प्रश्न से, शंकु (VAB) की ऊँचाई h₂ तथा त्रिज्या r₂ है।


इति सिद्धम्

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4 Text Book Questions and Answers.

BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

Bihar Board Class 10 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए।)

प्रश्न 1.
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, शंकु के छिन्नक के व्यास क्रमश: 4 cm व 2 cm हैं।
त्रिज्या (r₁) = 2 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 1 cm
गिलास की ऊँचाई (h) = 14 cm
शंकु के छिन्नक के आकार के गिलास का आयतन

अत: गिलास की धारिता = 102\(\frac{2}{3}\) cm³

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का व्रक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = 4 cm
एक सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₁ = 18 cm ⇒ πr₁ = 9 cm
दूसरे सिरे की वृत्तीय परिधि, 2πr₂ = 6 cm ⇒ πr₂ = 3 cm
छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
= (πr₁ + πr₂)l
= (9 + 3) × 4
= 48 cm²
अतः छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 cm²

प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (चित्र देखिए)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है जिसकी तिर्यक ऊँचाई (l) = 15 cm,
त्रिज्या (r₁) = 10 cm तथा त्रिज्या (r₂) = 4 cm
टोपी का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= \(\frac{22}{7}\) (10 + 4) × 15
= 660 cm²
टोपी के बन्द सिरे का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= \(\frac{22}{7}\) × (4)²
= \(\frac{352}{7}\) cm²
= 50\(\frac{2}{7}\) cm²
टोपी में लगा कुल कपड़ा = टोपी का वक्रपृष्ठ + बन्द सिरे का क्षेत्रफल
= (660 + 50\(\frac{2}{7}\))
= 710\(\frac{2}{7}\) cm²
अत: टोपी बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल = 710\(\frac{2}{7}\) cm²

प्रश्न 4.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश 8 cm और 20 cm हैं। ₹ 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
हल
दिया है, बर्तन शंकु के छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई (h) =16 cm
और शंकु के ऊपरी सिरे की त्रिज्या (r₁) = 20 cm तथा शंकु के निचले सिरे की त्रिज्या (r₂) = 8 cm
तब, बर्तन का आयतन = छिन्नक का आयतन

= 3328 × 3.14
= 10449.92 cm³
बर्तन को दूध से भरने के लिए 10449.92 cm³ अथवा 10.450 लीटर दूध चाहिए।
तब, ₹ 20 प्रति लीटर की दर से दूध का मूल्य = 20 × 10.45 = ₹ 209
बर्तन को बनाने में वक्रपृष्ठ एवं आधार पर चादर प्रयुक्त होगी,
तब, बर्तन के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_{2}^{2}\)
= 3.14 × (8)²
= 3.14 × 64
= 200.96 cm³
बर्तन की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
= \(\sqrt{(16)^{2}+(20-8)^{2}}\)
= \(\sqrt{256+144}\)
= \(\sqrt{400}\)
= 20 cm
तब, बर्तन का वक्रपृष्ठ = π(r₁ + r₂)l
= 3.14(20 + 8) × 20
= 3.14 × 28 × 20
= 1758.4 cm³
बर्तन में प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल = (1758.4 + 200.96) cm² = 1959.36 cm²
अतः ₹ 8 प्रति 100 cm² की दर से चादर का मूल्य = \(\frac{8}{100}\) × 1959.36
= ₹ 156.7488
= ₹ 156.75
अत: दूध का मूल्य = ₹ 209 तथा चादर का मूल्य = ₹ 156.75

प्रश्न 5.
20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचो-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास \(\frac{1}{16}\) cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल

चित्र में किसी शंकु के आधार का व्यास A’OA है तथा शीर्ष V है।
शंकु का शीर्ष कोण A’VA = 60° है, तब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण (α) = 30°
शंकु की ऊँचाई = 20 cm है।
तब, समकोण ΔOAV में,